自動控制原理要點---第四章根軌跡

在系統設計與調試中，某些參數需要經常調整，並希望看到參數變化對極點位置的影響。如果每改變一次參數就求解一次特徵方程，這將是十分繁瑣與困難，尤其是對高階方程。

1、根軌跡：某參數由連續變化時，系統特徵根在S平面上隨之連續變化的軌跡曲線。

由特徵方程：，有 $G_k(s) left(=K_gfrac{Pi_{j=1}^m (s+z_j)}{Pi_{i=1}^n (s+p_i)} ight)=-1$ ，式中為開環零點，為開環極點，為開環增益。

常規根軌跡：若開環增益連續變化時，系統特徵根隨之連續變化的軌跡。

2、根軌跡與系統性能關係：

①穩定性：根軌跡停留在S左半平面的就是使系統穩定的增益；根軌跡與虛軸相交時的就是使系統臨界穩定的增益；根軌跡進入S右半平面的就是使系統不穩定的增益。
②動態性能： 某個值讓特徵根位於S左半平面的實軸上，此刻系統為過阻尼系統，階躍響應為非週期過程；某個值讓特徵根重合位於S左半平面的實軸上，此刻系統為臨界阻尼系統，階躍響應為非週期過程，但響應速度變快；某個值讓特徵根位於S左半平面的複數點上，此刻系統為欠阻尼系統，階躍響應為阻尼振蕩過程，超調量將隨增大而加大，但調節時間變化不大。

③穩態性能：如果無/一個/兩個特徵根位於原點，則系統為0型/I型/II型系統，此刻的增益為誤差係數，藉助穩態誤差表容易求出穩態誤差。

3、繪製根軌跡

規則一：根軌跡的連續性。
規則二：根軌跡的對稱性。規則三：根軌跡的條數(分支數)：系統有幾個特徵根就有幾條根軌跡，故系統階數為根軌跡的條數。

$K_gfrac{Pi_{j=1}^m (s+z_j)}{Pi_{i=1}^n (s+p_i)}=-1 Leftrightarrow A)K_gfrac{Pi_{j=1}^m left| s+z_j ight|}{Pi_{i=1}^n left| s+p_i ight|}=1; B) anglePi_{j=1}^m ( s+z_j )-angle{Pi_{i=1}^n left| s+p_i ight|}=-180^circ$

規則四：根軌跡的起點和終點：根據條件 $A)frac{Pi_{j=1}^m left| s+z_j ight|}{Pi_{i=1}^n left| s+p_i ight|}=frac{1}{K_g}$ ，當時，條件才成立，即根軌跡起於開環極點；當，或條件才成立，即根軌跡終於開環零點(有限零點)或無窮遠處(無窮零點)。根軌跡始於開環極點，結束於零點。

規則五：實軸上的根軌跡：實軸上的某一線段/射線，若其右邊開環零點與極點個數之和為奇數，則該線段/射線屬於根軌跡。因為實軸的根總滿足 $anglefrac{N(s)}{D(s)}=-180^{circ}pm360^{circ}n$ 。
規則六：根軌跡的分離點與分離角：分離點意味著特徵值重根，即，整理有 $Sigma^nfrac{1}{s+p_i}=Sigma^mfrac{1}{s+z_j}$ 。若有條軌跡參與會合分離，那麼分離角 $frac{(2k+1)pi}{l},k=0,1,...,l-1$ 。規則七：根軌跡與虛軸交點：令交點為代入特徵方程求解。規則八：根軌跡的漸近線：有條根軌跡趨於無窮遠處零點就有條漸近線。

漸近線的點斜式：角 $frac{(2k+1)pi}{n-m},k=0,1,...,n-m-1$ ，點 $sigma=frac{極點和-零點和}{n-m}$ 。
規則九：根軌跡的起始角與終止角：由相角條件B）有起始角： $heta_{pk}=lim_{s ightarrow -p_k}{(s+p_k)}=-180^circ+lim_{s ightarrow -p_k}{[Sigma^m_j(s+z_j)-Sigma^n_{i e k}(s+p_i)]}$ 終止角： $heta_{zk}=lim_{s ightarrow -z_k}{(s+z_k)}=-180^circ-lim_{s ightarrow -z_k}{[Sigma^m_{j e k}(s+z_j)-Sigma^n_i(s+p_i)]}$

規則十：根之和： $D(s)=1+G_k(s)=s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1s+a_0=0$ 。由二次項定理有： $根之和=a_{n-1}(定值)$ 。隨增大，一些特徵根增大，另一些特徵根必減小。