在第一章已提到，系统按特性可分类为：连续系统和离散系统。只要某环节的信号在时间上为离散(如脉冲序列或数码形式等)的系统可归类为离散系统。

1、基本概念

  • 信号分类：模拟信号(时间的连续函数)、离散信号（时间上的离散序列）、数字信号(时间上、幅值上的离散序列)。
  • 控制系统的分类：连续系统、采样系统、计算机控制系统。
连续系统 VS 采样系统 VS 计算机控制系统

相比于连续系统，采样控制系统的优点：精度高、可靠、有效抑制干扰、通用性好。

注：不同的采样周期对系统的稳定性、稳态误差、信号恢复精度有影响。

  • 采样方式：采样开关经过时间T闭合一次，采样时间为τ(τ<<T)，则采样周期T，采样频率 f_s=1/T，采样角频率 w_s=2pi f_s。采样方式：

①等周期采样(采样时刻为nT)；

②多阶采样(采样时间是周期性重复)；③多速采样(用多个不同采样周期的采样器对信号同时采样)；④随机采样(采样时间是随机变数)。

  • 采样过程
这里矩形的宽是采样时间τ而不是周期T。由于τ时间内,e(t)变化甚微，可近似为宽度为 τ ,高度为e(nT)的矩形脉冲序列
  • 采样定理

为了从采样信号中不失真地复现原连续信号,必须遵循采样定理(香农定理)：

若采样器输入信号e(t)带宽有限，且有直到ωm (rad/s)的频率分量，当采样周期T≤ frac{2π}{2w_{max}}(s)

即 w_sgeq 2w_{max}，那么e(t)就可以从e*(t)中恢复过来，其中fs和ws称为采样频率和采样角频率，

w_{max}为最大角频率

2、采样系统的数学模型

  • 差分方程：常系数线性差分方程的求解方法：

法一：基于解析法的Z变换法，

法二：基于计算机求解的迭代法。
  • 脉冲传递函数

①脉冲传递函数的定义：零初始条件下，线性系统输出脉冲序列的Z变换与输入脉冲序列的Z变换之比为系统的脉冲传递函数（或z传递函数）。即

G(Z)= frac{C(z)}{R(z)} = frac{输出脉冲序列的Z变换}{输入脉冲序列的Z变换}

系统的离散输出信号c*(t)= Z^{-1} [G(Z)R(Z)]

局限性：原则上不反映非零初条件下系统响应的全部信息;只适合描述单输入单输出系统;只适线性定常离散系统。

②开环控制系统的脉冲传递函数

应注意：串联各环节之间有无采样器，采样开关的数目和位置不同，求出的开环脉冲传递函数也会不同。

有采样器

D(Z)=G1(Z)R(Z)；C(Z)=G2(Z)D(Z)=G1(Z)G2(Z)R(Z)；G(Z)=C(Z)/R(Z)=G1(Z)G2(Z)；脉冲传递函数等于两个环节的脉冲传函之积

无采样器

G1(S)和G2(S)先乘起来再后Z变换，G(Z)=G1G2(Z)；脉冲传递函数为这两个环节传递函数积的Z变换

零阶保持器

法一：我们直接把中间看成一个整体，所以 G(z)=R(z)G_{h}G_{0}(z)

法二：G(Z)= frac{C(z)}{R(z)}=(1-z^{-1})Z[frac{G_{0}(s)}{s}]

采样拉氏变换的两个重要性质：采样函数的拉氏变换具有周期性G*(s)=G*(s+jkωs)；

离散信号可从离散符号中提出来 [E^*(s)G_{1}(s)G_{2}(s)]^*=E^*(s)[G_{1}(s)G_{2}(s)]^*

③闭环系统的脉冲传递函数

闭环脉冲传递函数是闭环离散系统输出信号的Z变换与输入信号的Z变换之比，即

Φ(z)= frac{C(z)}{R(z)}

注:采样开关的位置不同，结构形式就不一样，没有唯一的典型结构图，因而闭环脉冲传递函数没有一般的计算公式，只能根据具体结构而具体求取。

C(S)= G_{2}(s)N(s)+G_{2}(s)G_{1}E^*(s)

E^*(s)=-C^*(s)

C^*(s)=frac{G_{2}N^*(s)}{1+G_{1}G_{2}^*(s)}

C(z)=frac{G_{2}N(z)}{1+G_{1}G_{2}(z)}

3、线性离散系统的稳定性与稳态误差

闭环系统稳定的充要条件：闭环脉冲传递函数的全部极点都必须在Z平面的单位圆内。

  • 离散系统的稳定性判据

由于Z的特征方程求解困难，引入w变换(也称双线性变换)：设Z= frac{w+1}{w-1} ，w= frac{z+1}{z-1}，使Z平面上的单位圆，映射成w平面上的左半平面，将Z的特征方程转换成w的特征方程，再使用劳思判据。

  • 线性离散系统的稳态误差：

①用Z变换终值定理求稳态误差

②用误差脉冲传递函数求稳态误差

Φ_{e}(z)=frac{E(z)}{R(z)}=frac{1}{1+G(z)} ，E(z)= frac{1}{1+G(z)}*R(z)

系统稳定， frac{1}{1+G(z)} 的全部极点都在Z平面的单位圆内。应用Z变换终值定理，得稳态误差

e(∞)= lim_{z ightarrow 1}{E(z)} = lim_{z ightarrow 1}{(z-1)*frac{1}{1+G(z)}*R(z)}

注：把G(Z)中含有v个z=1的极点称为v型系统，如Ⅰ型系统不是有一个 frac{1}{s} ，而是 frac{1}{s-1} 。

①单位阶跃输入时的稳态误差

由于r(t)=1(t) R(z)= frac{z}{z-1}有

e_{sr}(∞)=lim_{z ightarrow 1}{frac{(z-1)R(z)}{[1+G(z)]}}=lim_{z ightarrow 1}{frac{z}{1+G(z)}}=frac{1}{K_{p}}

定义静态位置误差系数：Kp= lim_{z ightarrow 1}{[1+G(z)]}

Ⅰ型系统时： K_{p}=lim_{z ightarrow 1}{G(z)}=∞ ， e_{sr}(∞)=0

Ⅱ型系统时： K_{p}=lim_{z ightarrow 1}{G(z)}=∞ ， e_{sr}(∞)=0

②单位斜坡输入时的稳态误差

由于R(z)= frac{Tz}{(z-1)^2}有 e_{sr}(∞)=lim_{z ightarrow 1}{frac{(z-1)R(z)}{[1+G(z)]}}=lim_{z ightarrow 1}{frac{Tz}{(z-1)[1+G(z)]}}=frac{T}{K_{v}}

定义静态速度误差系数及稳态误差

K_{v}=lim_{z ightarrow 1}{(z-1)G(z)} ， e_{sr}=frac{T}{k_{v}}

0型系统时： K_{v}=0 ， e_{sr}(∞)=∞

Ⅱ型系统时： K_{v}=∞ ， e_{sr}(∞)=0

③单位加速度输入时的稳态误差

由于r(t)= frac{1}{2}t ，R(z)= frac{T^2z(z+1)}{2(z-1)^3}有

e_{sr}=lim_{z ightarrow 1}{frac{(z-1)R(z)}{[1+G(z)]}}= lim_{z ightarrow 1}frac{T^2}{(z-1)^2G(z)}

静态加速度误差系数及稳态误差

K_{a}=lim_{z ightarrow 1}{(z-1)^2G(z)} ， e_{sr}=frac{T^2}{k_{a}}

总结：

振荡周期 T_{k} 与θ_{k} 有关， θ_{k} 越大 T_{k} 越小；

T_{k} = frac{2πT}{θ_{k}}

θ_{k} 是pk所在点的幅角

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