在第一章已提到，系統按特性可分類為：連續系統和離散系統。只要某環節的信號在時間上為離散(如脈衝序列或數碼形式等)的系統可歸類為離散系統。

1、基本概念

  • 信號分類：模擬信號(時間的連續函數)、離散信號（時間上的離散序列）、數字信號(時間上、幅值上的離散序列)。
  • 控制系統的分類：連續系統、採樣系統、計算機控制系統。
連續系統 VS 採樣系統 VS 計算機控制系統

相比於連續系統，採樣控制系統的優點：精度高、可靠、有效抑制幹擾、通用性好。

註：不同的採樣週期對系統的穩定性、穩態誤差、信號恢復精度有影響。

  • 採樣方式：採樣開關經過時間T閉合一次，採樣時間為τ(τ<<T)，則採樣週期T，採樣頻率 f_s=1/T，採樣角頻率 w_s=2pi f_s。採樣方式：

①等週期採樣(採樣時刻為nT)；

②多階採樣(採樣時間是週期性重複)；③多速採樣(用多個不同採樣週期的採樣器對信號同時採樣)；④隨機採樣(採樣時間是隨機變數)。

  • 採樣過程
這裡矩形的寬是採樣時間τ而不是週期T。由於τ時間內,e(t)變化甚微，可近似為寬度為 τ ,高度為e(nT)的矩形脈衝序列
  • 採樣定理

為了從採樣信號中不失真地復現原連續信號,必須遵循採樣定理(香農定理)：

若採樣器輸入信號e(t)帶寬有限，且有直到ωm (rad/s)的頻率分量，當採樣週期T≤ frac{2π}{2w_{max}}(s)

即 w_sgeq 2w_{max}，那麼e(t)就可以從e*(t)中恢復過來，其中fs和ws稱為採樣頻率和採樣角頻率，

w_{max}為最大角頻率

2、採樣系統的數學模型

  • 差分方程：常係數線性差分方程的求解方法：

法一：基於解析法的Z變換法，

法二：基於計算機求解的迭代法。
  • 脈衝傳遞函數

①脈衝傳遞函數的定義：零初始條件下，線性系統輸出脈衝序列的Z變換與輸入脈衝序列的Z變換之比為系統的脈衝傳遞函數（或z傳遞函數）。即

G(Z)= frac{C(z)}{R(z)} = frac{輸出脈衝序列的Z變換}{輸入脈衝序列的Z變換}

系統的離散輸出信號c*(t)= Z^{-1} [G(Z)R(Z)]

侷限性：原則上不反映非零初條件下系統響應的全部信息;只適合描述單輸入單輸出系統;只適線性定常離散系統。

②開環控制系統的脈衝傳遞函數

應注意：串聯各環節之間有無採樣器，採樣開關的數目和位置不同，求出的開環脈衝傳遞函數也會不同。

有採樣器

D(Z)=G1(Z)R(Z)；C(Z)=G2(Z)D(Z)=G1(Z)G2(Z)R(Z)；G(Z)=C(Z)/R(Z)=G1(Z)G2(Z)；脈衝傳遞函數等於兩個環節的脈衝傳函之積

無採樣器

G1(S)和G2(S)先乘起來再後Z變換，G(Z)=G1G2(Z)；脈衝傳遞函數為這兩個環節傳遞函數積的Z變換

零階保持器

法一：我們直接把中間看成一個整體，所以 G(z)=R(z)G_{h}G_{0}(z)

法二：G(Z)= frac{C(z)}{R(z)}=(1-z^{-1})Z[frac{G_{0}(s)}{s}]

採樣拉氏變換的兩個重要性質：採樣函數的拉氏變換具有周期性G*(s)=G*(s+jkωs)；

離散信號可從離散符號中提出來 [E^*(s)G_{1}(s)G_{2}(s)]^*=E^*(s)[G_{1}(s)G_{2}(s)]^*

③閉環系統的脈衝傳遞函數

閉環脈衝傳遞函數是閉環離散系統輸出信號的Z變換與輸入信號的Z變換之比，即

Φ(z)= frac{C(z)}{R(z)}

注:採樣開關的位置不同，結構形式就不一樣，沒有唯一的典型結構圖，因而閉環脈衝傳遞函數沒有一般的計算公式，只能根據具體結構而具體求取。

C(S)= G_{2}(s)N(s)+G_{2}(s)G_{1}E^*(s)

E^*(s)=-C^*(s)

C^*(s)=frac{G_{2}N^*(s)}{1+G_{1}G_{2}^*(s)}

C(z)=frac{G_{2}N(z)}{1+G_{1}G_{2}(z)}

3、線性離散系統的穩定性與穩態誤差

閉環系統穩定的充要條件：閉環脈衝傳遞函數的全部極點都必須在Z平面的單位圓內。

  • 離散系統的穩定性判據

由於Z的特徵方程求解困難，引入w變換(也稱雙線性變換)：設Z= frac{w+1}{w-1} ，w= frac{z+1}{z-1}，使Z平面上的單位圓，映射成w平面上的左半平面，將Z的特徵方程轉換成w的特徵方程，再使用勞思判據。

  • 線性離散系統的穩態誤差：

①用Z變換終值定理求穩態誤差

②用誤差脈衝傳遞函數求穩態誤差

Φ_{e}(z)=frac{E(z)}{R(z)}=frac{1}{1+G(z)} ，E(z)= frac{1}{1+G(z)}*R(z)

系統穩定， frac{1}{1+G(z)} 的全部極點都在Z平面的單位圓內。應用Z變換終值定理，得穩態誤差

e(∞)= lim_{z ightarrow 1}{E(z)} = lim_{z ightarrow 1}{(z-1)*frac{1}{1+G(z)}*R(z)}

註：把G(Z)中含有v個z=1的極點稱為v型系統，如Ⅰ型系統不是有一個 frac{1}{s} ，而是 frac{1}{s-1} 。

①單位階躍輸入時的穩態誤差

由於r(t)=1(t) R(z)= frac{z}{z-1}有

e_{sr}(∞)=lim_{z ightarrow 1}{frac{(z-1)R(z)}{[1+G(z)]}}=lim_{z ightarrow 1}{frac{z}{1+G(z)}}=frac{1}{K_{p}}

定義靜態位置誤差係數：Kp= lim_{z ightarrow 1}{[1+G(z)]}

Ⅰ型系統時： K_{p}=lim_{z ightarrow 1}{G(z)}=∞ ， e_{sr}(∞)=0

Ⅱ型系統時： K_{p}=lim_{z ightarrow 1}{G(z)}=∞ ， e_{sr}(∞)=0

②單位斜坡輸入時的穩態誤差

由於R(z)= frac{Tz}{(z-1)^2}有 e_{sr}(∞)=lim_{z ightarrow 1}{frac{(z-1)R(z)}{[1+G(z)]}}=lim_{z ightarrow 1}{frac{Tz}{(z-1)[1+G(z)]}}=frac{T}{K_{v}}

定義靜態速度誤差係數及穩態誤差

K_{v}=lim_{z ightarrow 1}{(z-1)G(z)} ， e_{sr}=frac{T}{k_{v}}

0型系統時： K_{v}=0 ， e_{sr}(∞)=∞

Ⅱ型系統時： K_{v}=∞ ， e_{sr}(∞)=0

③單位加速度輸入時的穩態誤差

由於r(t)= frac{1}{2}t ，R(z)= frac{T^2z(z+1)}{2(z-1)^3}有

e_{sr}=lim_{z ightarrow 1}{frac{(z-1)R(z)}{[1+G(z)]}}= lim_{z ightarrow 1}frac{T^2}{(z-1)^2G(z)}

靜態加速度誤差係數及穩態誤差

K_{a}=lim_{z ightarrow 1}{(z-1)^2G(z)} ， e_{sr}=frac{T^2}{k_{a}}

總結：

振蕩週期 T_{k} 與θ_{k} 有關， θ_{k} 越大 T_{k} 越小；

T_{k} = frac{2πT}{θ_{k}}

θ_{k} 是pk所在點的幅角

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