一個價值“十萬億”的公式
作者：方華
來源：量子學派（ID：quantumschool）
金融巫師：布萊克—斯科爾斯公式
牛頓曾經說過：我可以計算天體運行的軌跡，卻沒有辦法計算人性的瘋狂。
據說牛頓買了當初大家都非常看好的英國南海公司股票，但最終由於南海泡沫破滅，官至皇家造幣局局長的牛頓鉅虧了2萬英鎊，爲此他才發出這番感慨。
不過，20世紀的布萊克和斯克爾斯卻似乎有自己的不同意見：經濟沒有那麼複雜，關鍵是數學關心不關心而已。
這兩位玩轉風雲的金融大師，在1973年對1966年至1969年間期權交易數據進行分析後發表《期權定價和公司債務》一文，給出了期權定價公式，一個堪稱金融巫師的公式。
爲表紀念，這個公式以二人名字命名，即著名的布萊克-斯科爾斯公式。
這個公式向世界證明，無論經濟的表面現象有多複雜，數學總能將這種複雜刻畫出來。
後來，斯科爾斯和默頓又進一步發展了這一方程，爲包括股票、債券、貨幣、商品在內的新興衍生金融市場的各種以市價價格變動定價的衍生金融工具的合理定價奠定了基礎。
這個方程的崛起助力全球金融衍生市場步入全盛時期，一個衍生工具的時代冉冉升起。它創造出數十萬億金融衍生產品，並令美國金融行業升至社會所有行業的頂峯，甚至包括世界經濟也因衍生市場的繁榮而煥然一新。
美國“第二次華爾街革命”也由此吹起了新生的號角，“金融工程”在經濟學界破土而出，人稱“數量分析專家”的新一代交易家成爲華爾街最熾手可熱的精英人才。
大批固步自封的傳統投資銀行在這個過程中猝不及防地轉瞬江河日下，而一家長期資本管理公司——LTCM(Long-Term Capital Management）卻開始展露鋒芒。
LTCM
華爾街的時代寵兒
關於布萊克—斯科爾斯方程的偉大應用，LTCM是最有發言權的，可以說，它是這一方程的最佳代言人。通過一絲不苟地執行布萊克—斯科爾斯方程套期理論，在整個金融界掀起一翻腥風血雨，讓整個華爾街都聞風喪膽，而後卻又因此驟然一落千丈，淪爲史上最大對衝基金失敗案例。
至今回想起那段歲月，人們仍難免心有餘悸。
1994年，長期資本管理公司LTCM創立，這是一家主要從事定息債務工具套利活動的對衝基金公司。自一出生，就是天子驕子。
LTCM的創始人是被譽爲能“點石成金”的華爾街“債券套利之父”梅里韋瑟，早期曾就職於華爾街的著名投資銀行所羅門兄弟公司債券部門，離開後創立了LTCM。合夥人包括前美聯儲副主席莫林斯、默頓和斯科爾斯等。其中斯科爾斯和默頓兩位泰斗級大師，前者是布萊克—斯科爾斯方程的兩位創始者之一，後者是公式的改進人，他們因此獲得了1997年的諾貝爾經濟學獎。而彼時，方程的另一創立者布萊克，因逝世遺憾與獎項無緣。
這樣一支號稱“每平方英寸智商密度高於地球上任何其他地方”的夢之隊，共集結數學、金融、政客、交易員等諸多精英於一體，在成立之初就毫不費力地融資了12.5億美元。
與傳統債券交易員依賴經驗和直覺不同的是，梅里韋瑟更相信數學天才的頭腦和計算機裏的模型，他認爲數學模型是揭露債券市場祕密的最好利器。他曾經在所羅門公司組建了套利部，收羅了一批與別人格格不入的數學怪胎，這批最能賺錢的賭徒在華爾街赫赫有名。
而這一次，LTCM掌門人梅里韋瑟依舊選用了數學模型作爲投資法寶。
斯科爾斯和默頓兩位金融工程的著名學者，將金融市場的歷史交易資料、已有的市場理論和市場信息有機結合在一起，形成了一套較完整的電腦數學自動投資模型。
以“不同市場證券見不合理價差生滅自然性”爲基礎，LTCM利用計算機處理大量歷史數據，通過精密計算得到兩個不同金融工具間的歷史價差作爲參考。再綜合市場信息分析最新價差，當發現不正常市場價差時，電腦立即建立起龐大的債券和衍性工具組合，進行套利。
套利建立在對衝操作上，所謂對衝，就是在交易和投資中，同時進行兩筆行情相關、方向相反、數量相當、盈虧相抵的交易，用一定的成本去“沖掉”風險，來獲取風險較低或無風險利潤。LTCM主要從事所謂“趨同交易”，即尋找相對於其他證券價格錯配的證券，做多低價的，沽空高價的，並通過加槓桿的方式將小利潤變成大收益。
例如，在1996年，意大利、丹麥、希臘政府債券價格被低估，而德國債券價格被高估，根據數學模型預測，意丹希三國的債券與德國債券的的息差會隨着歐元的啓動而縮小，於是LTCM大量買入低價的意大利、丹麥、希臘的政府債券，賣空高價的德國債券。只要德國債券與意大利債券價格變化方向相同，當二者息差收窄時，就可以從中得到鉅額收益。
後來，市場表現果然與LTMC的預測一致，在高財務槓桿下，資金收益被無限放大。
這樣的對衝組合交易，LTCM在同一時間持有20多種，每一筆核心交易都有着數以百計的金融衍生合約作爲支持。藉助於複雜的數學估價模型，LTCM很快在市場上賺得盆滿鉢滿。
成立短短4年，LTCM戰績赫赫，淨資產增長速度極快。到了1997年底，資本已達到了70多億美元。同時，每年的回報率平均超過40%，1994年收益率達到28%，1995年收益率高達59%，1996年收益率是57%。即使在東亞金融危機發生的1997年，也依然斬獲25%的收益率。
這一系列記錄以及合夥人的聲望都使得投資人對LTCM情有獨鍾，貝爾斯登、所羅門美邦、信孚銀行、JP摩根、雷曼兄弟公司、大通曼哈頓銀行、美林、摩根士丹利等華爾街各大銀行更是欲求成爲投資者能分得一杯羹，裹挾着資本紛紛踏破門檻。
至此，LTCM如日中天。
B-S模型
最“昂貴”的公式
LTCM造就的財富神話，一度使人驚歎不已，他們幾乎從無虧損，沒有波動，這簡直就像是沒有風險。著名的金融學家夏普疑惑不解地問斯科爾斯：“你們的風險在哪裏？”
斯科爾斯也直撓頭：沒有人看到風險去哪裏了。
在LTCM的操作中，斯科爾斯他們始終遵循“市場中性”原則，即不從事任何單方面交易，僅以尋找套利空間爲主，再通過對衝機制規避風險，使市場風險最小化。
在這一系列對衝組合的背後，隱藏着無數控制風險的金融衍生合約，以及錯綜複雜的數學估價模型。而最初開創了金融衍生時代、催生出一大批新生代“數量分析師”的布萊克-斯科爾斯方程，在LTCM戰無不勝攻無不克的一路高歌中，可謂是立下了汗馬功勞。
布萊克-斯科爾斯方程（Black-Scholes期權定價模型）簡稱B-S模型，最早於1973年由布萊克和斯科爾斯共同提出，其思想來源於現代金融學中的一場“實踐之旅”。
1952年，芝加哥大學一名博士生馬科維茨用一篇論文點燃了現代金融學的大爆炸，人類歷史上第一次清晰地用數學概念定義和解釋了“風險”和“收益”兩個概念，把收益率視爲一個數學的隨機變量，證券的期望收益是該隨機變量的數學期望，而風險則可以用該隨機變量的方差來表示。60年代，馬科維茨的學生夏普攜手其他幾人再續前緣，進一步推導出期望收益率與相對風險程度之間的關係，那就是金融學中最著名的資產定價模型（CAPM）。
布萊克的核心思想，就是在CAPM世界中尋找一個漂亮的衍生品定價數學模型。
從馬科維茨開始，金融學就步入了一場理論與現實相結合的“實踐之旅”，在那個思想熠熠生輝的年代，行爲金融學日漸興起。而70年代的“異端”布萊克，就在那個無套利分析法在舞臺大放光彩的市場中，窺見了一套爲金融衍生品投資行爲量身定製的法寶。
無套利假定告訴我們，在一定的價格隨機過程假設下，每一時刻都可通過股票和股票期權的適當組合對衝風險，使得該組合變成無風險證券，這樣就可以得到期權價格與股票價格之間的一個偏微分方程。只要解出這個偏微分方程，期權的價格也就隨之而出。
布萊克和斯科爾斯兩人藉助於物理界一個熱運動隨機方程，再把f定義爲依賴於股票價格的衍生證券的價格，一鼓作氣推出了著名的B-S偏微分方程，這個方程就藏着衍生證券的價格。
B-S偏微分方程令布萊克和斯科爾斯兩人着迷不已，但也令他們抓耳撓腮。在苦苦思索後，布萊克選擇從歐式看漲期權入手，將未來期望收益值進行折現，進一步解出看漲期權價格ct爲：
式中：
其中，N(x)是標準正態變量的累積分佈概率,x服從N(0,1)。T爲到期日,t爲當前定價日,T-t是定價日距到期日的時間，St爲定價日標的股票的價格,x爲看漲期權合同的執行價格，r是按連續複利計算的無風險利率，σ是標的股票價格的波動率。
有趣的是，同年，來自MIT的金融教授“期權之父”默頓也發現了同樣的結論。
這三人相逢，便是一出高山流水的經典戲碼，高手過招，惺惺相惜，碰撞出了更多期權思想的火花。謙遜的默頓一直等到布萊克模型公佈後才發表自己的論文，甚至在後來還改進了模型，創造性地提出了“看跌期權定價模型”，擴大了公式的應用範圍。
歐式看漲期權和看跌期權之間存在着一種平價關係：
將這種平價關係同標準正態分佈函數的特性結合起來：
就可以得到歐式看跌期權的定價公式：
B-S模型剛推出之時，曾因完全脫離了經濟學一般均衡的框架而被主流經濟期刊視爲“異端”不予接收，不少經濟學家大驚失色：怎麼可以直接用無套利的方法給證券定價？但與模型定價驚人吻合的市場數據，讓華爾街欣喜若狂、依舊不顧一切視其爲掌中珍寶。
這一模型十分有效，是經濟史以來應用最頻繁的一個數學公式，它適用於其價格取決於標的證券價格S的所有衍生證券的定價，但要使其奏效，還需滿足一些複雜的假設：
1.證券價格st遵循幾何布朗運動，即
股價遵循幾何布朗運動，意味着股價是連續的，它本身服從對數正態分佈，資產預期收益率μ、證券價格波動的標準差σ爲常數。在B-S定價公式中，受制於主觀因素的μ並未出現，這似乎在告訴我們，不管你的主觀風險收益偏好怎麼樣，都對衍生證券的價格不起波瀾。
這其中，恰恰蘊含着風險中性定價的思想，在風險中性的條件下，所有證券的預期收益率都等於無風險利率。幾何布朗運動的假設保證了股價爲正（對數定義域大於0）、股價波動率、股票連續複利收益率服從鐘形分佈，這與實際股市數據也是較爲一致的。
2.有效期內，無風險利率r爲一個常數。無風險利率是一種理想的投資收益，通常指國債一類沒有風險的利率，到期不僅能收回本金，還能獲得一筆穩定的利息收入。
3.標的證券沒有現金收益支付，如有效期內的股票期權，標的股票不支付股利。
4.期權爲歐式期權。歐式期權的買方不能在到期日前行使權利，而與之對應，美式期權的買方可以在到期日前或任一交易日提出執行要求，“權利”更大，更復雜。
5.市場無摩擦，即不存在交易費用和稅收，如印花稅，以及所有證券交易都完全可分，投資者可以購買任意數量標的資產，如100股、10股、1股、0.1股等。
6. 證券交易是連續的。
7. 市場不存在無風險套利機會。即“天下沒有白喫的午餐”，不存在不承受風險就獲利這樣的投資機會，想獲得更高的收益就得承受更大的風險。
8.對賣空沒有任何限制(如不設保證金)，賣空所得資金可由投資者自由使用。
如果說，馬科維茨的投資組合理論在金融學中畫下了最基本的風險-收益框架，“第一次華爾街革命”爆發，現代投資證券業開始成爲一個獨立產業；那布萊克-斯科爾斯方程則是“第二次華爾街革命”，金融衍生市場從此步入繁榮期，行爲金融學爲對衝基金的崛起提供有力的支持，金融學和金融實踐的融合交錯，現代金融大廈因此流光溢彩，一片星河燦爛。
站在時代浪潮之上，“數量分析專家”更是藉助B-S模型創造出數十萬億金融衍生產品，全球經濟財富指數級上升，美國金融行業一度升至社會所有行業的頂峯。可以說，這個公式，當之無愧爲史上最“貴”的偏微分方程。
天使or惡魔
銀行大廈一夜將傾
B-S模型與現實數據的驚人吻合，使人們對這樣一個簡單有效的定價工具癡迷不已。
尤其隨着鉅額收益的日漸膨脹，許多銀行家和交易員在欣喜若狂中也把這個方程當成了一種對衝風險的法寶，一種洞悉財富祕密的數學魔法。
而藉助於B-S模型的強勢助攻，那隻由梅里韋瑟組建的“夢幻組合”，也成爲了金融舞臺上最耀眼的明星。這羣驚才豔豔之人，是華爾街睥睨衆生的驕傲存在，他們沉浸於幾乎無往不利的B-S模型，沉溺於巨大槓桿財富的勝利中。
然盛極而衰，真正的風險正躲在數學模型裏洋洋得意。
它們隱而不發，任憑一羣天才嘲笑它們的無力弱小，準備着伺機而動，一舉反攻。1997年亞洲金融危機爆發，風險呼嘯着，砸向了那羣驕傲得不可一世的人，將他們無情吞噬。
那壓倒他們的最後一根稻草，來自於1998年8月17日俄羅斯的債務違約。
此後，巨星隕落，財神爺一夜之間從神壇跌入塵埃：
1998年上半年，LTCM虧損14%。
1998年9月初，資本金從年初的48億美元掉落到23億，縮水超過一半。
從5月俄羅斯金融風暴到9月全面潰敗，短短的150天資產淨值下降90%，LTCM出現43億美元鉅額虧損，僅餘5億美元，已走到破產邊緣。噩耗一傳來，一切都似乎無力迴天，回頭望去，LTCM曾經天使般的獲利法寶，這一次卻轉變爲了煞氣騰騰的惡魔。
LTCM主要靠兩大法寶獲利：一爲數學模型，二爲杆槓對衝交易。
在斯科爾斯和默頓的手中，所有的市場數據都被收入到了運算中的電腦數學模型之中，被監控着的風險無處遁形，都可以被他們精確計算並控制。一旦市場存在着錯誤定價，他們就可以建立起龐大的債券及衍生產品的投資組合，進行套利投機活動。
然而他們忽略了，那個爲金融衍生品交易定下基調的B-S模型，本身存在着的風險。
在LTCM的投資組閤中，金融衍生產品佔有很大的比重，但在Black—Scholes的期權定價公式中，暗含着這樣的假設：
（1）交易是連續不斷進行的。
（2）市場符合正態分佈。
交易連續意味着市場不會出現較大的價格和行市跳躍、可以動態調整持倉來控制風險，基於這個假設以及大數定律，我們很容易得到風險因子的變化符合正態分佈或類正態分佈。
這是很多定價模型的基本假設，但事實並非如此。
市場並不是連續的，也根本不存在足夠的交易來時刻保持風險動態平衡，很多無套利定價模型在這類假設下存在着瑕疵。歷史上出現過很多次跳變現象，市場跳變顯示出市場並不符合正態分佈，存在厚尾現象。而在Black—Scholes期權定價公式中，d 作爲一種非線性情況的線性風險估值，在價格劇烈變動的情況下同樣失去了衡量風險的意義，當系統風險改變的時候，金融衍生工具的定價是具有很大不可估量性的，遠非一個公式便可駕馭。
除此之外，在LTCM的數學模型中，它的假設前提和計算結果都是在歷史統計數據基礎上得出的，但是歷史數據的統計過程往往會忽略一些概率很小的事件。這些事件一旦發生，將會改變整個系統的風險，造成致命打擊，這在統計學上稱爲“厚尾效應”。
1998年俄羅斯的金融風暴就是這樣的小概率事件，而LTCM就是被這根稻草壓死的。
在衛冕華爾街“最閃亮明星”征途中，LTCM想要借數學模型之手尋找常人難以發現的套利機會，爲了達到這一目的，他們選擇了對衝交易，而爲了放大收益，他們用了高槓桿。
LTCM利用從投資者籌得的22億美元資本作抵押，買入價值1250億美元證券，然後再以證券作爲抵押，進行總值12500億美元的其他金融交易，槓桿比率高達568倍。
高槓桿比率是LTCM追求高回報率的必然結果，但它卻也是一把雙刃刀。
對衝交易的作用建立在投資組閤中兩種證券的價格正相關的基礎上，但如果正相關的前提一旦發生改變，逆轉爲負相關，對衝就變成了一種高風險的交易策略，或兩頭虧損，或盈利甚豐。在高槓桿比率下，對衝盈利可以暴增，虧損更可以陡加，負相關的小概率事件一發生，尾部風險帶來的虧損足以讓整個LTCM陷入萬劫不復的境地，一招不慎就是滿盤皆輸。
這一次，LTCM高槓桿比率這一招就輸了。
1998年8月17日，俄羅斯宣佈債務違約，全球投資信心遭遇危機。
隨之而來的就是全球市場開始暴跌，投資者不惜一切代價拋售手中債券。俄羅斯的破產讓很多國際大銀行遭受損失，它們連夜召開緊急會議，要出售資產套現。
在這個慘淡的市場中，高槓桿比率要求LTCM擁有足夠的現金支持保證金要求，LTCM曾經篤信市場哪怕因小概率事件偏離了軌道，但總會迴歸到正常水平的。可LTCM已經沒有足夠的現金了，它面臨着被趕出賭場的危險，流動性不足把它推向了危機的邊緣。
最後，利用歷史數據預測證券價格相關性的數學模型也失靈了。LTCM所沽空的德國債券價格上漲，它所做多的意大利債券等證券價格下跌，對衝交易賴以生存的正相關變爲負相關，小概率事件還是偷襲了市場，高槓桿下LTCM一切資產猶如打了水漂，通通血本無歸。
結語
數學無法預測人性
1998年9月23日，美聯儲召集各大金融機構的頭目，以美林、摩根大通銀行爲首的15家國際性金融機構注資37.25億美元購買LTCM90%的股權，共同接管了LTCM。2000年，該基金走向了倒閉清算的覆滅之路。
風雲變幻的市場就像個惡作劇的孩子，LTCM的轉瞬直下，使人們從投機市場中的美夢驚醒，世上原來並不存在完美致勝的數學模型法寶，任何分析方法都有着它的瑕疵。
在自由化全球金融體系下，LTCM是數學金融的受益者，日益豐滿的數學模型+資本不受限制的自由流動使得對衝基金能夠呼風喚雨、攫取利潤，可這也成爲了它的墳墓。
布萊克—斯科爾斯方程作爲投資人的聖盃，開創了衍生工具的新時代，催生了巨大的全球金融產業。但衍生工具不是錢或者商品，它們是對投資的投資，對預期的預期。其造就了世界經濟的繁榮，但也帶來了市場動盪，信用緊縮，導致銀行體系近於崩潰，經濟暴跌。
然而，方程本身沒有問題，數學準確而有用，限制條件也交代得很清楚。它提供了用於評估金融衍生產品價值的行業標準，讓金融衍生產品成了可以獨立交易的商品。如果得到合理使用，在市場條件不合適條件下嚴禁使用，則結果很好。
但問題是總有人濫用它。市場中的一些不完美因素將使得權證的價格偏離BS模型計算的理論值，包括交易不能連續、存在避險成本和交易費用等。槓桿作用助長了金融衍生工具過度投機，貪婪使得其違背了投資初衷，成了一場不斷膨脹的泡沫賭博。金融業內，人們稱B-S這個方程爲“米達斯方程”，認爲它有把任何東西變成黃金的魔力。但市場忘了米達斯國王故事的結局。
B-S方程能定價期權，卻無法預測人性。這與牛頓的感慨如此類似：數學可以計算經濟運行的軌跡，卻沒有辦法計算人性的瘋狂。
本文轉自公衆號 量子學派——專注於自然科學領域（數理哲）的教育平臺
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