冪律分布背後的數學邏輯，了解一下？

導語

今天我們將帶大家來學習一個基本的概念，就是冪律分布的函數形式。這部分的知識來自於集智百科，集智百科是複雜系統領域的百科全書，涵蓋複雜系統領域的基本概念。（目前正在不斷的完善階段）

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冪律函數（Power-Law Fuctions)

科學家對冪律關係感興趣，部分是因為某些機制服從冪律關係所展示出的簡潔性。通過研究冪律把握這些機制，不僅了解到一些自然現象的基礎，還可以從中窺探出與其他看似不相關的一些系統之間的深層聯繫; 參見前文的普適性。

物理世界中冪律關係無處不在, 部分是由於維度的限制；而在複雜系統中, 冪律通常被認為是層級或特定隨機過程的特徵。帕累托的收入分配定律, 分形的結構自相似性, 以及生物系統中的克萊伯定律，都是比較著名的冪律分布實例。

研究冪律關係的生成, 並致力於在現實世界中對它進行觀察和驗證, 是物理學、計算機科學、語言學、地球物理、神經科學、社會學、經濟學等許多領域研究的一個熱門話題。

帕累托收入分配定律 | 來源：https://www.google.com

最近對冪律的興趣主要來自於對概率分布的研究：似乎有大量的分布遵循冪律的形式，至少它們右尾是符合的。這些大型事件的行為將這些數量與大偏差理論(theory of large deviations)的研究聯繫起來（也稱為極值理論(extreme value theory)），它探究了諸如股市崩盤和大型自然災害等極其罕見的事件的發生頻率。在統計分布的研究中更傾向於稱之為「冪律」。

在實際情況中，近似為冪律分布的情況

通常包括一個偏差項，它可以表示觀察到的值

的不確定性（可能是測量或抽樣誤差），或者提供一種簡單的方法使觀察偏離冪律函數（可能是因為隨機）：

從數學角度來說，一個嚴格的冪律函數不可能是概率分布:

，對於

，指數

(希臘字母 alpha，注意不要與之前使用的指數符號混淆）大於1(否則尾部具有無限區域), ，最小值

是必須存在的。否則，當x接近0時, 分布就具有無限面積, 常量因子C是一個標度因子, 以確保總面積為 1, 這是概率分布的基本要求。

更常見的是漸近冪律——只在極限情況下成立。指數通常在

之間，不過這並不絕對。詳細信息請參閱下面的冪律概率分布（power-law probability distributions ）。

示例

從物理學（例如沙堆雪崩），生物學（例如物種滅絕和體重）以及社會科學（例如城市規模和收入）領域的研究中，目前已經探討了超過一百種冪律分布。其中包括：氣溶膠光學中的Angstrom指數、複雜介質中聲衰減的頻率依賴性、心理物理學中的Stevens冪律、斯蒂芬-玻耳茲曼定律（The Stefan–Boltzmann law）等等，下面就簡單介紹三個應用最廣泛的示例。

克萊伯定律（Kleibers Law)

在1932年，生物學家克萊伯做了一組實驗，他將各種哺乳動物拉到稱上稱體重作為橫坐標，大到幾頓重的大象，小到幾十克的耗子，然後通過它們在單位時間內呼出的二氧化碳，分別測量出它們的新陳代謝率作為縱坐標。

得出的結果讓他大吃一驚。當橫縱坐標分別取對數之後，所有的動物都齊刷刷地站在了一條直線上，這條直線的斜率為3/4。生物的多樣性令人嘆為觀止，可竟然出現了在數學上如此統一的規律。