尾巴里的巨人|六十米高的巨人在哪裡，讓冪律告訴你！
前言
人類的身高數據是我們生活中常見到的統計數據，但是為什麼我們身邊常見到的人身高都差不多呢？ 我們知道長成像姚明那樣的高個子是小概率事件，但是這個概率有多小呢？ 讓我們通過正態分布，和冪律分布這兩種概率分布告訴你答案！
加州大學洛杉磯分校的 Statistics Online Computational Resource （SOCR）提供了25,000 行的身高和體重數據。這裡我們只使用身高數據，並將數據單位從英寸（inch）轉換為厘米（cm）。在對數據做了簡單的統計分析後，我們可以看到人口身高的平均值為 166cm，標準差為 4.67cm。
SOCR地址：
http://www.socr.ucla.edu/
數據地址：http://wiki.stat.ucla.edu/socr/index.php/SOCR_Data_Dinov_020108_HeightsWeights
人類身高分布的正態分布情況
接下來讓我們用傳統的正態分布來描繪一下這個數據：
我們能夠看到，正態分布能完美擬合人類身高數據。
在正態分布中有一個非常重要的準則：三西格瑪原則（3σ原則），幾乎所有的數據都會落在以均值為中心的三個標準差範圍內。現實生活中也確實如此，一米八以上的高個子不多見，一米五以下的矮個子也沒那麼多。
讓我們來估算一下，巨人出現的概率：巨人的概率是極低極低的，三米高的巨人出現的概率為 1.57?10^(?180)，小數點後179個零！而六十米高的巨人，以概率估算根本就不會存在。
按照以上這些用正態分布刻畫身高數據的特徵而得出的結論都很符合常理。接下來我們會做一些更有趣的事情。
用冪律擬合人類身高巨人比你想像的多
肯定，會有同學發覺，身高數據兩側下降的曲線，跟中學時學過的冪函數（冪律）也差不多嘛。
常見的冪函數（冪律） 圖片來源：維基百科
那麼我們就來試試用指數為負的冪函數（中間那種類型的冪函數）擬合一下身高數據的分布情況，首先，根據冪函數的特點我們對數據做一些假設和處理：假設人口中身高為平均值的人數是最多的，大多數人的身高相對平均值的差值不會太大，與平均身高相差很大的數據很少。
這樣，我們就能用身高數據和均值的差值的分布情況來刻畫人類身高分布情況：
註：在實際數據處理中包含了一些技巧性的方法，請參看文末地址中的源代碼。
如圖所示，圖中的橫軸代表身高數據和均值的差值從左到右差值依次增大，顯然與均值相差較大的數據確實不多。按照冪律分布擬合出來的結果，雖然不如正態分布那麼貼切，但似乎也能表達出數據變化的趨勢。不過讓我們看一些估計的實例。
根據我們的估算：身高三米的巨人出現的概率為 0.37%，接近千分之四！！！是不是有點不對了。。。再接著看!
身高三米的巨人出現的概率為 0.0117%，換而言之：
六十米高的巨人出現的概率也要高於萬分之一！！！
六十米高的巨人出現的概率也要高於萬分之一！！！
六十米高的巨人出現的概率也要高於萬分之一！！！
這意味著，兩千萬人口的北京有可能出現兩千多個巨人……
那一天，人類終於回想起了，曾經一度被他們所支配的恐怖，還有被囚禁於鳥籠中的那份屈辱。
尾巴里的巨人（Titan in Tail）
好了你知道這是不可能的。
但是為什麼用冪律分布去刻畫身高數據時，在冪律尾巴中的那些小概率出現的頻率似乎蠻高的？
或者說，為什麼「巨人」會隱藏在冪律長長的尾巴里呢？
這是因為和正態分布的三西格馬定律不同，冪律分布存在肥尾效應（Fat tail）。冪律的長尾巴和正態分布相比要胖一些，要高一些，或者跟確切的說函數值要大一些。
那麼，什麼是肥尾效應效應呢？為何巨人藏身於「肥尾」中這一切會在複雜系統中的冪律分布系列課程中為你答疑解惑。（點擊閱讀原文了解課程詳情）
文末福利，免費試聽系列課程首節——白天鵝世界中的黑天鵝。
所以，到底為啥沒有巨人？
你現在還不太滿意，因為你會想：到底為啥就沒有巨人呢？
嘿嘿，這和規模法則：一個指數為 3/4 的冪律有關。是的，冪律還能告訴你生物生長的約束與限制，因為受到冪律的約束與限制那種六十米高的巨人根本就不會存在。
而規模法則，又是冪律的另一個故事了。
公開課：白天鵝世界中的黑天鵝
參考資料
http://www.socr.ucla.edu/
http://wiki.stat.ucla.edu/socr/index.php/SOCR_Data_Dinov_020108_HeightsWeightshttp://www.dangreller.com/thats-just-not-normal-power-laws/http://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFittingPowerLaw.htmlhttps://en.wikipedia.org/wiki/Power_lawhttp://tuvalu.santafe.edu/~aaronc/powerlaws/https://www.zhihu.com/question/20313934
RANK?1/2: A SIMPLE WAY TO IMPROVE THE OLS ESTIMATION OF TAIL EXPONENTS規模：複雜世界的簡單法則 傑弗里·韋斯特 (Geoffrey West)
作者：Leo
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