?分形結構最大程度地利用了細胞表面積來運輸能量

導語

Geoffrey West 等人1999年在Science 發表了一篇文章，用分形幾何來解釋生物異速標度律，引申出了生命的「第四維度」。集智俱樂部「冪律與規模」讀書會上，對生命3/4標度現象如何起源、4是否意味著生命有第四維度、如何從分形的角度理解維度等問題，做了大量探討，本文是對「生命第四維」問題探討後的一篇筆記。

該論文題目：The Fourth Dimension of Life: Fractal Geometry and Allometric Scaling of Organisms下載地址：

biology.unm.edu/jhbrown

自然選擇使生命的代謝能力最大化，最大限度地擴大了運輸資源和能量的表面積。例如我們的代謝能量會通過毛細血管的表面積運向全身上下細胞，從而促進細胞生長，維持生命所需的能量。舉個很直觀的例子，儘管你的肺只有一個足球那麼大，體積為5～6升，但是，血液中負責氧氣和二氧化碳交換的肺泡總表面積，幾乎有一個網球場那麼大；而所有氣流通路的總長度幾乎是從倫敦到莫斯科的距離，約2500千米！這是怎麼做到的呢？
Peano曲線和大腸表面的分形褶皺

答案是分形。分形是20世紀系統科學提出的一個重要概念，它可以對d維的幾何體施加最大化的褶皺和扭曲而得到d + 1維的幾何體。例如褶皺的大腦皮層，以及扭曲纏繞的大腸。生命體內正是充滿了神奇的分形結構，才實現了空間填充的最大化。

以上選自：如何將生命體裝入旅行箱？| 《規模》克萊伯定律揭秘生命第四維

即便在「不經意間」已經處處運用分形結構解決難題，但或許我們對其並沒有系統的認識。理解分形，從認識維度開始。

什麼是維度

維度，又稱維數，在數學中被定義為獨立參數的數目，在物理學和哲學的領域內，是指獨立的時空坐標的數目。

0維是一個點，沒有長度；1維是一條線，只有長度；2維是一個面，由長度和寬度形成的面；3維是一個體，在2維的基礎上加上高度所形成。1維的線在其維度方向可以截出無窮多個0維的點；2維的面從任意維度方向可以截出無窮多的1維的線；

3維的體可以截出無窮多的2維的面；

4維則是建立在3維之上又多一個維度，根據上面的概念的引申，4維的東西可以截出無窮多個「體」。
圖1 從0-4的維度示意圖 | wikipedia

在物理學上往往將時間作為第四維，與空間的3維一起構成4維時空，在任何時間來看（橫截觀察），就可以得到一個「體」。如果固定空間的一個維度，剩下的兩個維度和時間也可以合成一個體，可以形象地展示物體的運動情況，如圖2所示。

圖2太陽系在銀河系中的真實運動軌跡 | wikipedia

維度是這個形體上確定一個位置所需要的獨立坐標的個數。對於一個獨立的點來說，它沒有大小，確定點上的位置不需要任何坐標數據。但對於一條直線來說，就需要用坐標來確定線上點的位置。曲線也是如此。無論直線還是平面上的曲線還是空間上的連續曲線都只有一個維度。

平面和球面都是2維的，因為一個數據無法標定面上的某個具體位置，而是需要並且只需要2個數據。比如地球上的任何一個位置通過精度和維度就可以確定下來。彎曲的三維形態難以想像，因為其要存在至少4維的空間中。
圖3 平面和空間中的曲線，也都是1維的

曲線是一維的，如圖3所示，這些曲線，無論是平面上的還是立體中的都是1維的，都可以通過一個數值來確定某個位置。

雖然一般人已經習慣了整數維，但有些時候維度不一定是整數，例如分形，維度可能會是一個非整的有理數或者無理數。

如何理解分形的維度下面將介紹分形中最著名的幾個例子。A.康托(Cantor)三分集

1883年，德國數學家康托(G.Cantor)提出了如今廣為人知的康托三分集。康托三分集的構造過程是：
  1. 把閉區間[0，1]平均分為三段，去掉中間的 1/3 部分段，則只剩下兩個閉區間[0，1/3]和[2/3，1]。
  2. 再將剩下的兩個閉區間各自平均分為三段，同樣去掉中間的區間段，這時剩下四段閉區間：[0，1/9]，[2/9，1/3]，[2/3，7/9]和[8/9，1]。
  3. 重複刪除每個小區間中間的 1/3 段。如此不斷的分割下去， 最後剩下的各個小區間段就構成了康托三分集。

康托三分集的維度為 D=log2 / log3=0.631B.科赫雪花。

瑞典人Koch於1904年提出。給定線段AB，科赫曲線可以由以下步驟生成：
  1. 將線段分成三等份，形成3個線段
  2. 以中間段為底，向外（內外隨意）畫一個等邊三角形
  3. 將這個中間段移去
  4. 分別對目前的4個線段，重複1~3

科赫雪花維度為 D=log4 / log3=1.2618C.門格海綿

1926年被奧地利數學家 Menger 首次描述。門格海綿的結構可以用以下方法形象化：

  1. 從一個正方體開始，把正方體的每一個面分成9個正方形。
  2. 再將把正方體分成27個小正方體，像魔方一樣。
  3. 把每一面的中間的正方體去掉，把最中心的正方體也去掉，留下20個正方體（第二個圖像）。
  4. 把每一個留下的小正方體都重複前面的步驟。

把以上的步驟重複無窮多次以後，得到的圖形就是門格海綿。

門格海綿的維度為 D=log20 / log3=2.7268再次強調，維度是這個形體上確定一個位置所需要的獨立坐標的個數。確定康托集上的某一個位置不需要整個實數域，因為有很多點已經挖去了。所以可以認為康托集要比一個點多，但不如一個曲線多。維度應該在0-1之間。維度應該在0-1之間。而科赫雪花是在二維平面內，但是沒有覆蓋整個平面，確定上面的位置一個實數是不夠的，例如給定橫軸方向的實數而不指定縱軸位置的話無法確定集合上的一個元素，但縱軸並不是連續的，只有某些位置上才會有意義，所以應該大體上維度介於1-2之間。而門格海綿用不著3個獨立的變數來確定一個位置，所以維度應該在2-3之間。從這個意義上講，能表示在二維平面的分形的維數不能超過2，在立體空間表示出來的分形不會超過3。所以，West在生命第四維的文章中說V（和體積和質量有關的東西）是4維的，很容易受到的質疑。嚴格的分形維度如何定義嚴格的分形維度的定義為 Hausdorff 維數，可以通過覆蓋來進行解釋。Hausdorff 提出：假設考慮的物體或圖形是歐氏空間的有界集合 ,用半徑為

的球覆蓋其集合時 , 假定

是球的個數的最小值,則有分形維數

我們先說一個長度為L的直線段，如果我們用更小的球去覆蓋，則需要的個數會隨著球的半徑減少而增加

所以分形維數：

同理很容易說明平面是2維以及立體是3維的。

再來看康托集。假設整個長度為1，用最長的長度為1的直線段即可覆蓋，但如果用長度為1/3的線段的話，就不用3個了，兩個即可，因為中間是空的。繼續進行，若長度為1/9的線段的話，只需要4個線段。所以當線段的長度變為上一個覆蓋的1/3的時候，需要的個數只增加到兩倍。

所以分形維數：

同樣，對於科赫雪花，當使用長度為原來1/3的線段進行覆蓋時候，覆蓋物的個數會增加到4倍，所以分形維數：

生命第四維是一種類比回到 West 關於生命第四維的文章，其目的是解釋生物基礎代謝率與生物量（質量）之間的非線性關係，更精確地說是3/4的冪律關係。也就是如果生物體體重增加一萬倍（10的四次冪），代謝率只增加到原來的一千倍（10的3次冪）。West 在這個文章中運用Koch雪花那樣的「分形可以增加維度」的思想，將血管橫截面圓周分形化，從1維變為2維，將整個血管的表面積變為3維，並將其與基礎代謝率建立線性關係。而體積和質量相關部分為表面積的維度再增加一個維度變為4維。維度關係如下表所示。表1 生物體血管的分形維度和傳統的歐氏幾何維度的關係

和體積有關的東西超過3維，是很難被接受的。集智學友在 West 訪華期間向其本人諮詢了這個問題， West 本人答覆說，這個增加的維度並非實指。

生命的第四維度，在數學上看好像是的，但嚴格地說——「這是一個類比和拓展」。參考文獻
  • zh.wikipedia.org/wiki/維度
  • v.youku.com/v_show/id_X
  • baike.baidu.com/item/分形理論/1568038?fr=aladdin
  • cnblogs.com/WhyEngine/p
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  • West G B, Brown J H, Enquist B J. The fourth dimension of life: fractal geometry and allometric scaling of organisms[J]. science, 1999, 284(5420): 1677-1679.
  • 朱金兆, 朱清科. 分形維數計算方法研究進展[J]. 北京林業大學學報, 2002, 24(2): 71-78.
  • math.ubc.ca/~cass/cours推薦閱讀如何將生命體裝入旅行箱？克萊伯定律揭秘生命第四維除了時間、空間，還能從這個維度看世界！與樹共舞：分形舞蹈可視化加入集智，一起複雜！推薦課程

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