久期是金融学中的一个经典概念。

1936 年，美国经济学家弗雷德里克·麦考利（F. Macaulay）提出了久期（duration）的概念，其最早用来衡量固定收益证券的实际偿还期，后来开始用来计算市场利率变化时金融工具价格的变化程度。

那它等于多少？

它等于

金融工具各期现金流发生的时刻乘以各期现金流现值与该金融工具总现金流现值的商

也就是

对现金流发生的时刻以每期现金流现值与总现金流现值之比作为权数进行加权求和的值

如果像侯世达所说，理解句子是入栈和出栈的过程，那么现在你应该已经充分体验了这一过程，并且感到费解。以上给的定义未免太直接，让人难以马上接受，现在让我们来用一种直观的过程给出它。现在，我假设你已经知道什么是现值（present value）：

PV = sum_{t=1}^{n}PV_t = sum_{t=1}^{n} frac{CF_t} {(1+r)^{t}} .

在这里 CF_t 是 t 期发生的现金流（cash flow）， PV_t 是对应 CF_t 的现值， PV 是总现值，这是这些现金流用当下时刻的现金来计量的价值。

假设你要分析两种债券，它们都是 5 年到期，无妨忽视到期偿付的票面金额，设 A 债券的 PV_t 都为 20，B 债券的 PV_1 到 PV_5 分别是 0, 10, 20, 30, 40。现在显然有 PV^A=PV^B=100 ，两者现值相等，但两种债券带给我们的感受相同吗？恐怕，我们难免会感到 B 债券更比 A 更「久」，但这种感觉如何度量呢？

无疑，离此刻越远的现金流让我们感到更久。为此，我们想像一个跷跷板，我们把这些钱放上去，此时 t 表示了这些钱离支点的距离。它的右边是：

1 cdot PV_1+2 cdot PV_2+cdots +t cdot PV_t ，

为使得跷跷板平衡（力矩平衡），我们现在该把 PV = sum_{t=1}^{n}PV_t 在放在左边什么位置上？设此位置与支点距离为 D ，即构成等式：

Dcdot PV=1 cdot PV_1+2 cdot PV_2+cdots +t cdot PV_t .

此时， D 就很好地表征了这个金融工具「久」的程度。若考虑到钱的价格可以与重量成线性关系，我们甚至可以在物理实验室里验证这个式子。

久期来了

我们由上式得到

D=frac{1 cdot PV_1+2 cdot PV_2+cdots +t cdot PV_t}{PV} ，

即是

D = frac{sum_{t=1}^{n}{tcdot PV_t}} {sum_{t=1}^{n}{PV_t}} ，

变形得到

D = frac{sum_{t=1}^{n}{tcdot frac{CF_t} {(1+r)^{t}}}} {PV}

这就是久期的表达式，更精确地，为了与后来的修正久期（Modified duration）区分，我们现在称它为麦考利久期（Macaulay duration），记作 D_{Mac}。现在，对著这个式子，你可以读懂那两个冗长的汉字描述了（也没必要读了）。有兴趣的读者，可以尝试计算 A、B 两种债券的久期，以作练习。

于是我们现在可以说，D_{Mac} 越大，金融工具的「实际」偿还期越长。

这还不是全部的故事

我们来看看修正久期，我们把它记作 D_{Mod}。第一段说了，人们「后来开始用（久期）来计算市场利率变化时金融工具价格的变化程度」。把现值看成此时金融工具价格的一种度量，也就是我们想要描述

frac{Delta PV}{PV}approx-D_{Mod}Delta r .

那么出于

PV=V(r)= sum_{t=1}^{n} frac{CF_t} {(1+r)^{t}} ，

我们有

frac {partial V}{partial r}= -tsum_{t=1}^{n} frac{CF_t} {(1+r)^{t+1}} ，

变形得到

frac {partial V}{partial r}cdot PV^{-1}= -(1+r)^{-1} left [sum_{t=1}^{n} tcdot frac{CF_t} {(1+r)^{t}}Big /PV ight ] .

对照定义，此时我们便已经得到了

frac{Delta PV}{PV}approx -frac{D_{Mac}}{1+r}Delta r ，

令

D_{Mod}= frac{D_{Mac}}{1+r}

即得到目标

frac{Delta PV}{PV}approx-D_{Mod}Delta r .

至此，我们用两种几乎完全不同的方式，推出了久期。

由于此时对于麦考利久期有

D_{Mac}approx -frac{Delta PV/PV}{Delta r/(1+r)} ，

我们说，它反映了金融工具价格对利率的弹性。

再进一步？

考虑到泰勒公式

f(x_1)=f(x_0)+f^{(1)}(x_1-x_0)+ frac{f^{(2)}(x_0)}{2} (x_1-x_0)^{2}+o(x^2) ，

可以得到

V(r_1)-V(r_0)approx V^{(1)}(r_1-r_0)+ frac{1}{2} V^{(2)}(r_0) (r_1-r_0)^{2} ，

即是：

frac{Delta PV}{PV} approx -D_{Mod}Delta r+ frac{1}{2}frac{V^{(2)}(r_0)}{PV} Delta r^{2} .

在金融学中，我们定义

C=frac{V^{(2)}(r_0)}{PV} ，得到

frac{Delta PV}{PV} approx -D_{Mod}Delta r+ frac{1}{2}C Delta r^{2} .

C 就是凸性（convexity），对久期相同的债券，利率下降时，凸性大的债券价格上涨幅度更大；利率上升时，凸性大的债券价格下降的幅度更小。

2018.11.26

题图：

Beidget Riley. Conversation, 1992.

参考资料：

蒋先玲. 货币金融学 2th Edition.

Wikipedia.

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