久期是金融學中的一個經典概念。

1936 年，美國經濟學家弗雷德裏克·麥考利（F. Macaulay）提出了久期（duration）的概念，其最早用來衡量固定收益證券的實際償還期，後來開始用來計算市場利率變化時金融工具價格的變化程度。

那它等於多少？

它等於

金融工具各期現金流發生的時刻乘以各期現金流現值與該金融工具總現金流現值的商

也就是

對現金流發生的時刻以每期現金流現值與總現金流現值之比作為權數進行加權求和的值

如果像侯世達所說，理解句子是入棧和出棧的過程，那麼現在你應該已經充分體驗了這一過程，並且感到費解。以上給的定義未免太直接，讓人難以馬上接受，現在讓我們來用一種直觀的過程給出它。現在，我假設你已經知道什麼是現值（present value）：

PV = sum_{t=1}^{n}PV_t = sum_{t=1}^{n} frac{CF_t} {(1+r)^{t}} .

在這裡 CF_t 是 t 期發生的現金流（cash flow）， PV_t 是對應 CF_t 的現值， PV 是總現值，這是這些現金流用當下時刻的現金來計量的價值。

假設你要分析兩種債券，它們都是 5 年到期，無妨忽視到期償付的票面金額，設 A 債券的 PV_t 都為 20，B 債券的 PV_1 到 PV_5 分別是 0, 10, 20, 30, 40。現在顯然有 PV^A=PV^B=100 ，兩者現值相等，但兩種債券帶給我們的感受相同嗎？恐怕，我們難免會感到 B 債券更比 A 更「久」，但這種感覺如何度量呢？

無疑，離此刻越遠的現金流讓我們感到更久。為此，我們想像一個蹺蹺板，我們把這些錢放上去，此時 t 表示了這些錢離支點的距離。它的右邊是：

1 cdot PV_1+2 cdot PV_2+cdots +t cdot PV_t ，

為使得蹺蹺板平衡（力矩平衡），我們現在該把 PV = sum_{t=1}^{n}PV_t 在放在左邊什麼位置上？設此位置與支點距離為 D ，即構成等式：

Dcdot PV=1 cdot PV_1+2 cdot PV_2+cdots +t cdot PV_t .

此時， D 就很好地表徵了這個金融工具「久」的程度。若考慮到錢的價格可以與重量成線性關係，我們甚至可以在物理實驗室裏驗證這個式子。

久期來了

我們由上式得到

D=frac{1 cdot PV_1+2 cdot PV_2+cdots +t cdot PV_t}{PV} ，

即是

D = frac{sum_{t=1}^{n}{tcdot PV_t}} {sum_{t=1}^{n}{PV_t}} ，

變形得到

D = frac{sum_{t=1}^{n}{tcdot frac{CF_t} {(1+r)^{t}}}} {PV}

這就是久期的表達式，更精確地，為了與後來的修正久期（Modified duration）區分，我們現在稱它為麥考利久期（Macaulay duration），記作 D_{Mac}。現在，對著這個式子，你可以讀懂那兩個冗長的漢字描述了（也沒必要讀了）。有興趣的讀者，可以嘗試計算 A、B 兩種債券的久期，以作練習。

於是我們現在可以說，D_{Mac} 越大，金融工具的「實際」償還期越長。

這還不是全部的故事

我們來看看修正久期，我們把它記作 D_{Mod}。第一段說了，人們「後來開始用（久期）來計算市場利率變化時金融工具價格的變化程度」。把現值看成此時金融工具價格的一種度量，也就是我們想要描述

frac{Delta PV}{PV}approx-D_{Mod}Delta r .

那麼出於

PV=V(r)= sum_{t=1}^{n} frac{CF_t} {(1+r)^{t}} ，

我們有

frac {partial V}{partial r}= -tsum_{t=1}^{n} frac{CF_t} {(1+r)^{t+1}} ，

變形得到

frac {partial V}{partial r}cdot PV^{-1}= -(1+r)^{-1} left [sum_{t=1}^{n} tcdot frac{CF_t} {(1+r)^{t}}Big /PV ight ] .

對照定義，此時我們便已經得到了

frac{Delta PV}{PV}approx -frac{D_{Mac}}{1+r}Delta r ，

令

D_{Mod}= frac{D_{Mac}}{1+r}

即得到目標

frac{Delta PV}{PV}approx-D_{Mod}Delta r .

至此，我們用兩種幾乎完全不同的方式，推出了久期。

由於此時對於麥考利久期有

D_{Mac}approx -frac{Delta PV/PV}{Delta r/(1+r)} ，

我們說，它反映了金融工具價格對利率的彈性。

再進一步？

考慮到泰勒公式

f(x_1)=f(x_0)+f^{(1)}(x_1-x_0)+ frac{f^{(2)}(x_0)}{2} (x_1-x_0)^{2}+o(x^2) ，

可以得到

V(r_1)-V(r_0)approx V^{(1)}(r_1-r_0)+ frac{1}{2} V^{(2)}(r_0) (r_1-r_0)^{2} ，

即是：

frac{Delta PV}{PV} approx -D_{Mod}Delta r+ frac{1}{2}frac{V^{(2)}(r_0)}{PV} Delta r^{2} .

在金融學中，我們定義

C=frac{V^{(2)}(r_0)}{PV} ，得到

frac{Delta PV}{PV} approx -D_{Mod}Delta r+ frac{1}{2}C Delta r^{2} .

C 就是凸性（convexity），對久期相同的債券，利率下降時，凸性大的債券價格上漲幅度更大；利率上升時，凸性大的債券價格下降的幅度更小。

2018.11.26

題圖：

Beidget Riley. Conversation, 1992.

參考資料：

蔣先玲. 貨幣金融學 2th Edition.

Wikipedia.

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