大家好，我是槿靈兮~

話說前段時間在學校時，有兩位同學分別問了我兩個解三角形的題，之後我給出解答，發現與參考答案的思路截然不同，之後發覺貌似很多人都不知道這個東東，因此寫這篇文章以記之~

原文來源於《韋心筆記4——多元拓展篇》，想要的同學可自行去下載~

槿靈兮：個人筆記的一個分享?

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以下為正文：

之前在《韋心筆記1——解題策略篇》中提到了阿波羅尼斯圓以及蒙日圓，在《韋心筆記2——好題妙解篇》中提到過一個特殊的四點共圓，如今我打算在此提及一種新的圓——外接圓。

當然，在此並不打算談西姆松定理（有興趣的同學可以自行了解）

而是要談在解三角形中一類很特殊的情形——定角對定邊。

下面先看一道例題：

例1：（合肥市2018年高三第一次教學質量檢測）已知 riangle ABC 的內角 A,B,C 的對邊分別為 a,b,c, (a-2b)cosC+ccosA=0.

(1) 求角 C；

(2) 若 c=2sqrt{3} ，求 riangle ABC 周長的最大值.

解： (1) 由正弦定理， (sinA-2cosB)cosC+sinCcosA=0

即 sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosC

sin(A+C)=2sinBcosC

因為 A+C=pi-B

所以 sin(A+C)=sin(pi-B)=sinB>0

所以 sinB=2sinBcosCRightarrow cosC=frac{1}{2}

因為 Cin(0,pi)

所以 C=frac{pi}{3}.

(2) 由 (1) 以及餘弦定理得 cosC=frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=frac{1}{2}

因為 c=2sqrt{3}

所以 a^{2}+b^{2}-12=ab

所以 (a+b)^{2}-12=3ableq3(frac{a+b}{2})^{2}

即 (a+b)^{2}leq48 （當且僅當 a=b=2sqrt{3} 時等號成立）.

所以 riangle ABC 周長的最大值為 6sqrt{3} .

以上的 (2) 的解法是原出題者給出的，接下來對 (2) 我們換一種方法來看問題：

另解：由 (1) 及 (2) ，知 C=frac{pi}{3} ，c=2sqrt{3} .

由正弦定理知 2R=frac{c}{sinC}=4Rightarrow R=2 .

即 riangle ABC 的外接圓 odot O 被唯一確定，點 C 在 widehat{ACB} 上運動。

C_{ riangle ABC}=a+b+c=2sqrt{3}+2R(sinA+sinB)=2sqrt{3}+4[sin(B+C)+sinB]

=2sqrt{3}+4(frac{3}{2}sinB+frac{sqrt{3}}{2}cosB)=2sqrt{3}+4sqrt{3}sin(B+frac{pi}{6})leq2sqrt{3}+4sqrt{3}=6sqrt{3}.

其中等號當且僅當 B=frac{pi}{3} ，即 riangle ABC 為等邊三角形時取得。

這裡比起之前的參考答案而言，個人感覺更加方便，因為避免了對 a+b 利用不等式的構造，不要用餘弦定理導出二次項之後湊和的平方；這裡直接化邊為角，用三角表示了三角形的周長，更具有一般性，這可以算是一種通解（該評論來自於戴彬濱老師）。

下面是我隔壁一班（奧賽班）彭煜琳大佬的獨特視角解法（圖片來源於個人筆記）：

以上是定角對定邊的作用一——化邊為角.

我們再看一道例題：

例2：在銳角 riangle ABC 中，角 A,B,C 的對邊分別為 a,b,c, 且 A,B,C 成等差數列， b=sqrt{3} ，則 riangle ABC 面積的取值範圍是________.

這是一位同學在下課問我的一道題，當時我初看，看到了「成等差數列」，心中頓時湧起了(2018 全國三卷 理)第20題圓錐曲線第 (2 ) 問「 |overrightarrow{FA} |, |overrightarrow{FP} |, |overrightarrow{FB} |, 成等差數列」的陰影，於是我便和她說，「這個我一時半會寫不出來，要不下節歷史課我寫寫，下節課下課我把答案寫給你。」

記過歷史老師還未讓我們翻開歷史書之前，我已經寫完了，想起來真是自己嚇自己，下面是我寫給她的答案。

解：由已知得： 2B=A+C

因為 A+B+C=pi

所以 3B=piLeftrightarrow B=frac{pi}{3} .

由正弦定理知： 2R=frac{b}{sinB}=2Rightarrow R=1

即 riangle ABC 的外接圓 odot O 被唯一確定，點 B 在 widehat{ABC} 上運動。

過 B 作 BDot AC ,垂足為 D .

則 S_{ riangle ABC}=frac{1}{2}BDcdot AC=frac{sqrt{3}}{2}BD

則 S_{ riangle ABC} 受線段 BD 的長短所影響。

由幾何關係易知，當點 B 平分 widehat{ABC} （即 D 為 AC 中點）時，BD 最長，

此時 riangle ABC 為等邊三角形， S_{ riangle ABC}=frac{sqrt{3}}{2}AC^{2}=frac{3sqrt{3}}{4}

當 B 點無限接近 A 點或 C 點（但不重合）時， S_{ riangle ABC} ightarrow0

則 S_{ riangle ABC}in(0,frac{3sqrt{3}}{4}]

下面我們看一下必刷卷給出的參考答案：

解：由余弦定理得 cosB=frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}=frac{1}{2}

因為 b=sqrt{3}

所以 a^{2}+c^{2}-3=ac

即 ac=a^{2}+c^{2}-3geq2ac-3Rightarrow acleq3

S_{ riangle ABC}=frac{1}{2}sinBcdot acleqfrac{3sqrt{3}}{4}

故 S_{ riangle ABC}in(0,frac{3sqrt{3}}{4}]

由此可以發現利用定角對定邊對於解這種面積範圍的題更直觀利落，畫個圖一看便可以直接出答案（個人為了說明的話所以步驟會比較繁瑣），也算從它的出題背景入手吧。

下面仍然是我隔壁一班（奧賽班）彭煜琳大佬的獨特視角解法（圖片來源於個人筆記）：

（上面的 b 指的是橢圓的短半軸，不是 riangle ABC 中角 B 的對邊，希望注意）

以上是定角對定邊的作用二——化積為高.

對外接圓的這兩個作用就討論到這裡，希望大家都能有所收穫，堅持從舊的題型中總結出新的方法，以提高自己的解題能力與解題效率。

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