要從幾何學公理公設出發，繞開面積證明這個結論，確實會使我們感到很大的困難。

眾所周知，歐幾裏得的公理體系在現代人的觀點看來是不嚴密的，人們已經不會滿足於歐幾裏得式的論證；因此為了得到滿意的答案我們必須在希爾伯特公理（或任意能夠刻畫我們心目中的歐氏幾何的嚴密的公理體系，如張景中提出的張氏公理；但對此我不是很瞭解）的基礎上討論這個問題。在這裡我想引用另外某個問題中一篇介紹幾何公理的比較專業的回答：

平面幾何的五條公理確定了 π 的值嗎？ - 張智浩的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/344888766/answer/821529363

平面幾何的五條公理確定了 π 的值嗎？?

然而，在希爾伯特公理中線段的乘積的概念不像想像中那麼容易。我們當然知道如何將兩個實數相乘——這是包括戴德金公理在內的許多實數公理體系所解決的問題。但希爾伯特公理是如此抽象，它甚至沒有假定一條線段的長度為一個數。

一種妥協但仍能解決問題的方式是，只定義涉及4條線段的比例的概念。這樣我們就可以定義相似三角形，引入相似三角形的理論，就像其他幾位答主所做的那樣。（待更新，也許不會更新）

也許你會說，我們可以在實平面 上定義線段及其長度。至少希爾伯特公理本身並不默認 為平面幾何的基礎。在上面的回答中，那位答主給出了幾條額外的公理，並說明希爾伯特公理與這些額外的公理共同決定了。然而，如果我們接受這個事實，那麼這個問題立刻變成了純粹的代數計算。

設 以 為直角， 是斜邊 上的高。角度推導很容易得到

於是有

得證。

上次回答:用向量的外積也能證明，但是本質也是面積相等

本次回答:感覺上次回答有點草率，

用向量外積證明:兩直角邊的外積等於垂直於該面的標準向量與兩直角邊模的乘積，斜邊與斜邊上的高的外積等於它倆的模的乘積與垂直於面的標準向量的積，夾角都是90度，這兩個外積均代表三角形為底的同一三稜柱的體積，同一三稜柱體積相等，得證

個人覺得相似可能能證出來，他是一維層面，面積是二維，本證為三維，三者雖有聯繫但永遠劃不上等號(同意點贊謝謝)

當然可以，用相似三角形邊成比例相同就能推導出來。