科普向：Berry Phase 1

絕熱演化與Berry相位

考慮一個由哈密頓

描述的物理系統, 哈密頓的參數

依賴於時間

我們所感興趣的是系統參量

沿著參數空間某條路徑的絕熱演化。為了這個目的，我們引入哈密頓

的瞬時正交歸一基，

是

時刻對應的參數。

上述方程並不能完全決定基函數 . 在上仍然存在一個依賴參數的任意相因子。可以做一個相位的選擇去消除這種任意性，例如規範變換。現在我們要求基函數的相因子沿著參數空間路徑上是光滑單值的。

由於量子絕熱定理, 如果一個系統初始時刻在他的某個能量本徵態，那麼在整個演化過程中，它將處於哈密頓的瞬時本徵態保持不變。

$|psi_n(t) angle=e^{igamma_n(t)}exp{left[-frac{i}{hbar}int_{0}^{t}dtvarepsilon_n(mathbf R(t)) ight]}|n(mathbf R(t)) angle$

其中指數第二項是動力學演化因子。把上述方程帶入到含時薛定諤方程

$ihbarfrac{partial}{partial t}|psi_n(t) angle=H(mathbf R(t))|psi(t) angle$

稍微簡單計算一下：

令 $exp{left[-frac{i}{hbar}int_{0}^{t}mathrm dtvarepsilon_n(mathbf R(t)) ight]}=e^{i heta_n}$ 得到

$|psi_n(t) angle=e^{igamma_n(t)}e^{i heta_n(t)}|n(mathbf R(t)) angle$ ，帶入含時薛定諤方程

$ihbar idot{gamma}e^{igamma_n}e^{i heta_n}|n(mathbf R(t)) angle+ihbar e^{igamma_n}idot{ heta_n}e^{i heta_n}|n(mathbf R(t)) angle+ihbar e^{igamma_n}e^{i heta_n}frac{partial}{partial t}|n(mathbf R(t))=varepsilon_n e^{igamma_n}e^{i heta_n}|n(mathbf R(t)) angle$ 兩邊乘以化簡得到

$frac{mathrm{d}}{mathrm{d} t}gamma_n(t)=ilangle n(mathbf R(t))|frac{mathrm{d}}{mathrm{d}t}|n(mathbf R(t)) angle$

把求出的 $dot{gamma}_n(t)$ 沿著路徑積分可以得到, 為了指標方便, 我們把能級指標寫在上面

$gamma^n=int_{mathcal{C}}ilangle n(mathbf R)|mathrm d n(mathbf R) angle=int_{mathcal{C}}ilangle n(mathbf R)|frac{partial}{partial R^{mu}}|n(mathbf R) anglemathrm d R^{mu}$

定義

形式聯絡

$A^n=langle n(mathbf R)|mathrm d n(mathbf R) angle=ilangle n(mathbf R)|frac{partial}{partial R^{mu}}|n(mathbf R) anglemathrm d R^{mu}=A^n_mu mathrm d R^mu$

得到 $A^n_mu=ilangle n(mathbf R)|frac{partial}{partial R^{mu}}|n(mathbf R) angle$

矢量

被叫做Berry聯絡或者Berry矢勢。表明在絕熱演化過程中，除了動力學相位以外還需要一個附加的相位

。顯然

是依賴於規範的。如果我們做個規範變換

$|n(mathbf R) anglelongmapsto e^{iLambda(mathbf R)}|n(mathbf R) angle$

規範因子

是任意光滑函數,

必須滿足這樣的變換

寫成矢量分量形式為

$A^n_mulongmapsto A^n_mu=A^n_mu-frac{partial}{partial R^mu}Lambda(mathbf R)$

所以由方程 $gamma^n=int_{mathcal{C}}ilangle n(mathbf R)|mathrm d n(mathbf R) angle=int_{mathcal{C}}ilangle n(mathbf R)|frac{partial}{partial R^{mu}}|n(mathbf R) anglemathrm d R^{mu}$ 給出的相因子

在規範變換後有

的變化，其中

和

是路徑

的起始點和終末點。這個結果使我們推斷總是可以選擇一個合適的規範

使得

沿著路徑

上被抵消掉，這樣就只剩下了動力學因子。由於這個原因，相因子

長時間被認為不那麼重要，並且在含時熱學問題里經常被忽略掉。

現在我們重新考慮系統沿著一條閉合路徑的循環演化，這個推斷才有了變化。我們之前在基函數做出的相位選擇要求 $e^{iLambda(mathbf R)}$ 在規範變換里是單值的. 也就是說，必須有

這說明在規範變換下，

僅僅只能改變

的整數倍，並且無法被消除掉。因此，對於一個閉合的路徑，

成了一個規範不變的物理量，現在被稱為Berry相位或者幾何相位。由下式給出

$gamma^n=int_{partial S} A^n(mathbf R)=oint_{mathcal{C}}A^n_mu mathrm d R^mu$

其中

從上面的定義我們可以看到，Berry相位僅僅依賴於閉合路徑的幾何，而不依賴是如何演化的。因此，時間依賴性在Berry相位的描述中不是必不可少的，並且將在後文中被忽略掉。

Berry曲率

類似電動力學，由Berry聯絡定義一個規範場強張量是非常有用的:

$egin{split} Omega^n&=dA=frac{partial A^n_mu}{partial R^ u}mathrm d R^ uwedgemathrm d R^mu\ &=-frac{partial A^n_mu}{partial R^ u}mathrm d R^muwedgemathrm d R^ u\ &=frac{partial A^n_ u}{partial R^mu}mathrm d R^muwedgemathrm d R^ u end{split}$

所以可以得到

$Omega^n=frac{1}{2}left[frac{partial A^n_ u(mathbf R)}{partial R^mu}-frac{partial A^n_mu(mathbf R)}{partial R^ u} ight]mathrm d R^muwedgemathrm d R^ u=frac{1}{2}Omega^n_{mu u}mathrm d R^muwedgemathrm d R^ u$

$Omega^n_{mu u}=frac{partial A^n_ u(mathbf R)}{partial R^mu}-frac{partial A^n_mu(mathbf R)}{partial R^ u}$

實際上還可以通過聯絡的具體形式得到Berry曲率

A^n(mathbf R)=ilangle n(mathbf R)|mathrm d n(mathbf R)
angle

兩邊同時作用外微分運算元

$egin{split} Omega^n=mathrm d A^n&=ilangle mathrm d n(mathbf R)|mathrm d n(mathbf R) angle\ &=ileftlanglefrac{partial n(mathbf R)}{partial R^mu}|frac{partial n(mathbf R)}{partial R^ u} ight anglemathrm d R^muwedgemathrm d R^ u\ &=frac{1}{2}left[leftlanglefrac{partial n(mathbf R)}{partial R^mu}|frac{partial n(mathbf R)}{partial R^ u} ight angle-leftlanglefrac{partial n(mathbf R)}{partial R^ u}|frac{partial n(mathbf R)}{partial R^mu} ight angle ight]mathrm d R^muwedgemathrm d R^ u\ &=frac{1}{2}left(frac{partial A^n_ u(mathbf R)}{partial R^mu}-frac{partial A^n_mu(mathbf R)}{partial R^ u} ight)mathrm d R^muwedgemathrm d R^ u end{split}$

$egin{split} Omega^n_{mu u}&=frac{partial A^n_ u(mathbf R)}{partial R^mu}-frac{partial A^n_mu(mathbf R)}{partial R^ u}\ &=leftlanglefrac{partial n(mathbf R)}{partial R^mu}|frac{partial n(mathbf R)}{partial R^ u} ight angle-leftlanglefrac{partial n(mathbf R)}{partial R^ u}|frac{partial n(mathbf R)}{partial R^mu} ight angle end{split}$ 這個場就叫做Berry曲率。我們根據Stokes定理，Berry相位可以寫成閉合路徑

所圍的曲面積分。

$gamma^n=int_{partial S}A^n(mathbf R)=int_{S}dA^n(mathbf R)=int_{S}frac{1}{2}Omega^n_{mu u}(mathbf R)mathrm d R^muwedgemathrm d R^ u$

其中是閉合路徑的任意曲面，Berry曲率是規範不變的。如果參數空間是三維的，上述方程可以寫成矢量形式

$mathbf{Omega}_n(mathbf R)= abla_{mathbf R} imes A_n(mathbf R),quadgamma_n=int_{S}mathrm d ScdotmathbfOmega_n(mathbf R)$

矢量形式給了我們一個Berry曲率的直觀圖像，我們可以把它看成參數空間里的磁場。除了之前給出的微分形式，Berry曲率通常還可以寫成本徵態求和的形式

$Omega^n_{mu u}(mathbf R)=isum_{n eq n}frac{langle n|frac{partial H}{partial R^mu}|n anglelangle n|frac{partial H}{partial R^ u}|n angle-langle n|frac{partial H}{partial R^ u}|n anglelangle n|frac{partial H}{partial R^mu}|n angle}{(varepsilon_n-varepsilon_{n})^2}$