這是奧數君第613天給出奧數題講解。

今天的題目是數字和問題，

所用知識不超過小學4年級。

題目（4星難度）：

對任意一個正整數a，先求a的各位數字和b，再求b的各位數字和c，……，不斷重複上述過程，總能得到一個唯一的個位數。在1到2018的所有正整數中，最終得到8的正整數和最終得到1的正整數哪一種多？多了多少個？

輔導辦法:

題目寫給小朋友，讓他自行思考解答，若20分鐘還不能解答，由家長講解。

講解思路：

這道題是數字和問題，

對這種類型的數論問題，

如果不好處理就尋找數列規律，

先寫一部分數字發現規律，

然後對規律進行驗證。

步驟1：

先思考第一個問題，

從1到20的數字和有什麼規律？

這個問題很簡單，

直接寫出來就會發現，

規律就是1到9不斷重複。

步驟2：

再思考第二個問題，

這個規律對所有的數都適用嗎？

如果n和n+1隻有個位數不同，

那n的數字和一定比n+1的小1；

如果n和n+1有多位數不同，

則n的個位數肯定是9，

如果n末尾有連續k個9，

則n+1的數字和比n的小9k-1。

這是一次操作的情況，

重複操作後顯然有，

若n的數字和不是9，

則n+1的數字和比n的大1；

若n的數字和是9，

則n+1的數字和是1。

因此該規律總是適用的。

步驟3：

綜合上述兩個問題，

分別考慮最終得到8和1的個數。

由於最終的數是1到9不斷重複，

而2018=224*9+2，

因此得到8的正整數是224個，

得到1的正整數是225個。

所以得到1的比得到8的多1個數。

思考題（5星難度）：

任意寫一個各位數字不全相同的多位數a，將a的數字進行任意重新排列得到另一個數b。用這兩個數種較大的減去較小的，得到另一個數c。先求c的各位數字和d，再求d的各位數字和e,……，不斷重複後，總能得到某個位數n。請問該個位數是幾？

獲得思考題答案方法：

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微信回復「20180906」可獲得思考題答案。

註：過4個月之後，關鍵詞回復可能失效。

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