卡爾納普數學哲學筆記2——哥德爾的「卡爾納普論文」

卡爾納普數學哲學筆記2——哥德爾的「卡爾納普論文」

They (mathematical propositions ) will form a special class of analytic propositions, containing special terms, but they will be none the less analytic for that. For the criterion of an analytic proposition is that its validity should follow simply from the definition of the terms contained in it, and this condition is fulfilled by the propositions of pure mathematics.
——A. J. Ayer

數學分析性問題涉及到了卡爾納普的《語言的邏輯句法（LSS/LSL）》中最核心的部分，直接關係到卡爾納普邏輯句法計劃是否是可行的。而不了解卡爾納普的這一計劃的具體構想就直接判它的死刑顯然是沒有理由的，我預感到我們圍繞一個莫名其妙的問題設定陷入了無意義的討論，按原先爭論下去的結果估計只能是我們離原先卡爾納普和哥德爾的討論的目標越來越遠，無助於找到問題的最終答案。這絕不是一個「哥德爾不完全性定理」就可以解決的單純問題，而是涉及到與數學基礎相關的卡爾納普的邏輯句法計劃等方方面面的複雜問題。

認識到這一點的我也曾經計劃在短期內讀完《LSS》中相關部分，然後著手對這個問題做出回應。不過在準備修士論文的我無法做到這一點，對《LSS》的解讀已經超出了我現在能力和精力所能達到的範圍了（我相信這不是卡爾納普的行文不成熟的問題，而是我的閱讀效率問題。比如說造成閱讀困難的地方就有，他獨特的符號語言與我們這個時代的表記法相去甚遠，而且對邏輯和數學基礎方面的問題意識和我們的時代相比有很大出入等方面，儘管Pierre Wagner（2009）做了清晰的梳理）。至今我仍然沒有對《LSS》的方法有清晰的把握。

但儘管如此我仍不打算把整理的計劃拖到修論完成後再做。在這篇文章里我僅對哥德爾的思路做初步的（僅憑二手文獻進行的）整理。後續會補充卡爾納普《LSS》中有關數學分析性問題的具體論證細節，哥德爾遺稿出版後（1995年之後）哲學界擁護卡爾納普方法的幾個觀點以及我對這個問題的一點思考。

以下是正文：

1.卡爾納普《LSS》中的數學分析性論題

由於本文的主要目的是介紹哥德爾遺稿的論證思路，這裡只是針對哥德爾所批評的卡爾納普的觀點做一個必要的概括，而並不打算詳細展開卡爾納普哲學處理這個問題的一些技術細節。另外我也不想展開《LSS》的寫作期間卡爾納普與哥德爾交流的具體過程，這個在哥德爾collected works，LSS序言，以及卡爾納普的自傳Intellectual Autobiography （Schilpp編）里有提及，另外Coffa（1991）那本The Semantic Tradition from Kant to Carnap以及Pierre Wagner（2009）主編Carnaps Logical Syntax of Language有對他們書信稿的具體討論。不過只有一點是值得注意的是：卡爾納普對哥德爾的不完全性定理並不是無知的，早在哥德爾的定理公開之前以及卡爾納普構想他的邏輯句法計劃之前他們已經就這一定理有了深入討論，且《LSS》的寫作目的之一可以說就是如何在邏輯句法計劃的構建中應對哥德爾難題。《LSS》的做成中，哥德爾讀過卡爾納普的手稿，他們彼此交換了很多意見。

剛剛也說道，我們需要在《LSS》中卡爾納普構建的更為龐大的哲學計劃中考察邏輯學和數學的分析性問題。這個哲學的計劃的考察對象不光是數學哲學，而是包括了實在論vs.觀念論,唯名論vs.實念論，唯物論vs.唯心論在內的更為廣泛的哲學討論。他認為這些哲學問題是偽問題，也就是說並不是在討論實質上的（material）問題，歸根到底是爭論的雙方沒有就應該選擇哪種哲學語言達成一致。《世界的邏輯構造》中卡爾納普嘗試了用現象主義的語言對世界的構築，其真實意圖被最近的卡爾納普學者認為是展示，不管是現象主義的語言還是物理主義的語言都可以構成對世界的描述，從而最終為唯心論和唯物論的爭論畫上一個句號。而圍繞數學的基礎的討論也是如此，古典數學和直觀主義之間尖銳的對立，並不是孰對孰錯的問題，也是語言選擇的問題。我們要承認哪種數學或邏輯真理，是由我們選擇哪種語言來決定的。這是卡爾納普哲學計劃的一個構成部分。

而對於選擇哪種語言這一點上，卡爾納普提出了有名的寬容原則（principle of tolerance），一言以蔽之，我們的任務並不是判斷幾種對立的語言孰對孰錯，而是『to arrive at conventions』。

語言是由兩種規則所決定的。分別是形成規則（formation rules）和轉換規則（transformation rules）。前者與我們所說的句法規則相對應，是規定這個語言中符號可以構成哪些語句。後者是決定包含了數學在內的（更廣義的）邏輯的規則。

《LSS》中卡爾納普具體構成了語言I和語言II兩種語言。前者的語言所包含的要素比較少（具體可參見Pierre Wagner（2009）），基本是按照有限主義的觀點構成的。後者的表現力更強，包含了分析學和集合論在內的古典數學全體。當然選擇哪種語言是出於實用上的考慮，卡爾納普的計劃中，語言II是適用於物理學記述以及對於還原論物理主義者來說全部科學記述的語言。

這兩個語言中任意一種都可以採用形式證明中的有限規則，也就是卡爾納普所說的導出規則（rule of derivation）作為其轉換規則。不管除此之外還應該允許另外一種非有限的「歸結規則（rule of consequence）」作為其轉換規則。將後者作為語言的句法規則的一部分，這就是卡爾納普對哥德爾不完全性定理的回應。

我們要知道根據哥德爾的定理，只根據導出規則制定的語言，不管是語言I還是語言II都不具備完全性，也就是說其語言系統中存在有無法被證明及證偽的語句。那如何將這兩種語言構造成為完全的呢？

對於語言I，卡爾納普導入了被稱為「規則」的非有限規則作為歸結規則。

對於語言II，「規則」是無法直接得到應用的，卡爾納普為此導入了一系列更為複雜的規則。

我們因此可以得到語言I和語言II，這兩種語言中的分析的真理就被歸結關係（歸結原則）所規定。當然由於規定這種分析性真理的不是靠傳統的導出關係，是哥德爾所詬病之處。

2.哥德爾遺稿的卡爾納普批判

哥德爾遺稿（Is mathematics syntax of language？下稱遺稿）共有6版，收錄進collected works第三卷中的是第三和第六版的草稿1953～1959。編者是Warren Goldfarb，同時他也是難產的卡爾納普collected works的編者。這個論文本來是答應了Schilpp，要在其編寫的《卡爾納普的哲學》一書中發表的，結果最後再三修改還是沒有在生前問世。（在哥德爾的collected works第五卷（pp.238-245）可以完整讀到Schilpp的催稿信，還有鴿德爾找的各種拖稿理由的回信）。不管怎麼說沒有看到卡爾納普對哥德爾的回應實在是很遺憾的事。

在遺稿中，首先，按哥德爾的考慮，卡爾納普的「數學是邏輯句法」的觀點可以被以下三個主張所概括：

（i）數學直觀可以被替換為對符號用法的約定。

（ii）由於數學命題不過是符號用法的約定的歸結，所以在與經驗無關這一層面上是不包含任何內容的。

（iii）由於數學被看作是約定的體系，數學先驗的合法性對於經驗主義來說就不是個問題了。

我們來看哥德爾對（i）的回應：如果數學僅僅是由符號的用法所約定的體系的話，那麼就必須要保證採用特定的約定不會對事實命題的真偽有影響。特別是要保證這個約定的體系是無矛盾的。因為一個有矛盾的體系可以導出包括事實命題在內的所有命題。可是根據第二不完全性定理，一個約定的體系只要包含最低程度的數學，那麼這個體系的無矛盾性就無法在體系內部得到證明。而我們所要求的是這種無矛盾性是可以被證明的。如此一來，要判斷這個體系是無矛盾的，不能依靠有限的句法規則，必須要存在一種超出finitary combinatorial reasoning範圍的抽象概念。

我們如何來理解這一反論呢？按照編者Goldfarb的解讀，哥德爾的理解中，首先存在一個經驗式的事實命題的領域，數學是作為句法規則的體系加給這個事實命題的領域的。通過給事實命題的領域加上句法規則，事實命題的全體實現了保存式的擴張（conservative extension）。而要說明這一點，有限的句法規則是不足的。所以這就構成了對卡爾納普的邏輯句法計劃的反論。

不過這個理由被認為很難構成對卡爾納普的反駁。首先卡爾納普的數學觀並沒有和哥德爾的達成一致。卡爾納普沒有接受先於導入語言約定的一種事實領域。在卡爾納普看來獨立於語言框架（lingustic framework）的「事實」及「經驗世界」這種考慮是完全不需要的，「約定-事實」和「分析的-綜合的」諸如這些分別是相對於語言的。一個不成熟的句法規則固然會導致矛盾的結果。但我們選擇哪一種規則的語言作為數學的語言，應該選擇有矛盾的規則還是無矛盾的規則，根本不是由於世界上有某種實在去驅使我們做這樣一種選擇，這不是理論上的問題，而只是出於實用性上的考慮而已。

所以很多人認為真正對卡爾納普構成反駁的，不是基於第二不完全性定理，而應該是第一不完全性定理的哥德爾的反論。