如果我們正確地認識了一個系統的對稱性，即使不知道體系的具體細節，便可以得到絕對且有用的正確的信息。

extbf{0.將到的群論知識：}

  • 共軛與共軛類：一個群 G= { g_1,g_2,g_3... },如果有關係 gg_ig^{-1}=g_j ,其中 g 為某一個群元，則稱群元 g_i 與 g_j 共軛，記為 g_i ~ g_j ，共軛是一種等價關係即 g_i ~ g_j,g_i ~ g_k ightarrowg_j ~ g_k。因此，我們可以在群 G 中找到所有與其中某個元素等價的元素，並稱他們組合而成的集合為共軛類。一個群總可以寫成多個共軛類的並集。

註：用線性代數的眼光來看（不一定正確但直觀），每個群元對應於一個線性變換， 共軛關係gg_ig^{-1}=g_j，可描述為 如果某個群元 g_i、 g_j 可通過群 G 中的某個元素 g 做相似變換相互聯繫，那麼我們便稱他們共軛。 共軛類也可用類似我之前寫多極矩時用到的遍歷的方法生成，即對一個群元 g_i ，將 g 取遍整個群 G ，即可得到含 g_i 的共軛類。

  • 群的不等價不可約表示個數等於類的個數n。
  • Burnside 定理：群的所有不等價不可約表示的維度平方的和等於群元的個數N: Sigma_{i=1}^n m_i=N

extbf{1. Graphene 能帶}

對於每個格點上填入一個相同原子軌道的六角蜂房格子，若取旋轉軸穿過角上的點則其具有 C_{3v} （或記為 S_6或D_3 ）對稱。

（可把我說的原子軌道看作是能級，如果是做量子光學的，可能說它是能級會更為熟悉，對於取周期性邊界的石墨烯格子可以說是一個二能級系統）

C_{3v}= { {E,C_3^{1},C_3^{2}} } otimes {{E,I} };其中E表示單位元， C_3^{i} 表示繞三度旋轉軸轉 i imesfrac{2pi}{3} ， I 表示反演操作，在這裡可認為是交換兩個不等價格點上的原子軌道。

關於不等價格點可參照：

光能豐：石墨烯的狄拉克錐與谷（Dirac cone and valley in graphene）?

zhuanlan.zhihu.com圖標

為應用我們開頭說的定理，我們來拆來把群 C_{3v} 拆成類的集合：

C_{3v}= { {E} } cup { I }cup { C_3^1,C_3^{2},IC_3^{1},IC_3^2 }

註：如何找到共軛類？看群中的兩個操作能否通過其他操作進行聯繫，如 C_3^1與 C_3^2 因為有了反演操作 I 的存在，所以順時針轉 frac{2pi}{3} 與逆時針轉frac{2pi}{3}等價。

因此有 m_1^2+m_2^2+m_3^2=6 ，因 m_i 為整數，可解得： m_1,m_2,m_3=1,1,2 ;因此說明體系中可存在能量的二度簡併子空間，這正好對應於 K,K 點的上下能帶交疊！

如果我們打破空間反演對稱性（在蜂房格子兩不等價格點放入不等價原子軌道）或者打破時間反演對稱群（考慮體系具有磁構型），體系的對稱性會降為 C_3 群。

C_3= { E } cup { C_3^1 } cup { C_3^2 }

因此有 m_1^2+m_2^2+m_3^2=3 ，因 m_i 為整數，可解得： m_1,m_2,m_3=1,1,1;因此說明體系中只存在有能量非簡併態，這正好對應於加入質量項打開 K,K 點的能隙。

以上討論來自Haldane於1988年討論的六角蜂房的反常量子霍爾效應的第13段。

Model for a Quantum Hall Effect without Landau Levels: Condensed-Matter Realization of the "Parity Anomaly"?

journals.aps.org

附：在這裡我們看到，能帶的簡併與閉合是可以從對稱性出發去做定性判斷的，當然上面給點的觀點是比較模糊的。更好的辦法是從倒空間中的對稱性去看，從選取的高對稱路徑或高對稱點所具有的對稱性判斷其具有的不可約表示的維度，進而判斷能帶的簡併與閉合。這裡便不做系統討論。

extbf{2.鈣鈦礦（Ogroup）中的$t_{2g}$、$e_{g}Orbit$ 和 Jahn-Teller畸變}

在講這個故事之前，首先我們得從幾何的角度來談一下微擾論，以及凝聚態中軌道的概念。

量子力學中的非含時微擾論： H=H_0+V ;大多數教材中都會講由於實際的 H 是很難求解的，能夠精確求解的 H_0 很少，但是我們可以通過將其餘部分 V 看作微擾，由此通過 H_0 的本徵值、本徵矢的信息來獲取整個系統的信息。如果你去細看微擾論的計算過程，只需注意到他計算一階微擾波函數，你便會發現微擾論的核心在於它假定了 H 的波函數能被 H_0 的波函數線性表示！即 H 本質空間是 H_0 本質空間的子空間。

因此如果 V 的對稱群含於 H_0 的對稱群，那麼整個哈密頓量 H 的對稱群定含於 H_0 的對稱群;因此 H 的本質矢必然可被 H_0 的本徵矢線性表示。

這也就是為什麼凝聚態系統中任然在用氫原子軌道的說法來說能級，如 s,p,d,f 軌道對應於 l=0,1,2,3 。用單電子圖像的觀點來看，電子是一級一級地從能量最低態向高能量態填的，由於主量子數 n 對能量的影響最大，因此首先考慮 n ，然後進一步考慮軌道對應的能量，細一點則是再考慮自旋軌道耦合帶來的能量劈裂，如果是考慮含有 4d,4f... 等軌道的原子還需進一步考慮在位庫倫勢U項，還需考慮價鍵等等因素。

凝聚態的這一部分還有很多經驗性的結論，就不再多說。

cite:Lecture_notes_on_electron_correlation and magnetism

鈣鈦礦（ ABO_3 ）具有如上氧( O^{2-} )八面體結構，中心和立方體角上是 A 或 B 離子，我們稱這一部分知識為立方晶體場（Cubic Crystal Field）。當然這個結構不知出現鈣鈦礦中，如 CuSO_4cdot5H_2O 、 LiNiO_2 等也具有該結構。當然還有更複雜的結構中也含有這樣的氧八面體，如我水了一學期還沒什麼進展的 Eu_2Ir_2O_7 則是一個元胞中含有四個氧八面體。

在自己寫 kp Model 或者寫代碼計算凝聚態體系時，自然是不可能所以軌道都考慮的，我們得找到對體系影響最大得幾個軌道（能級），通常是費米面附近的軌道。對於 d,f 這些自旋軌道耦合不可忽略的電子軌道，描寫自己選取的軌道的軌道角動量就成了關鍵問題。

由於氧原子軌道已被填滿（軌道能量低），因此僅僅考慮處於氧八面體中心的離子，不考慮原子內部電子見庫倫排斥，體系單電子哈密頓量： H=H_0+sum_{i=1}^6 frac{2e^2}{4piepsilon_0 |vec{r_i}-vec{R}|}

考慮到氧離子排布位置的立方對稱性，可知系統具有六條二度旋轉軸，四條三度旋轉軸，三條四度旋轉軸，稱為 O group：

O= {E} cup { C_2^{(1)},C_2^{(2)},C_2^{(3)}...,C_2^{(6)} }cup

{ C_3^{1},C_3^{1},C_3^{1},C_3^{1},C_3^{2},C_3^{2},C_3^{2},C_3^{2} }cup

{ C_4^{1},C_4^{1},C_4^{1},C_4^{3},C_4^{3},C_4^{3} }cup { C_4^{2},C_4^{2},C_4^{2} }

因此有 sum_{i=1}^5 m_i^2=24 ，因 m_i 為整數，可解得： m_1 ightarrow m_5=1,1,2,3,3;這告訴我們立方晶體場中體系得能量簡併度可以為1，2，3，因此原本在球對稱下的氫原子的 lgeq2 時的軌道因其簡併度對於3必然會發生劈裂。關於他們劈裂成什麼樣得軌道，我們還需要更細節的操作，同多極矩那一部分，我們把群元一個個的作用在 s、p=（x,y,z）、d=(x^2-y^2,3z^2-r^2,xy,xz,yz) 軌道上，操作使得函數變化，如 C_4^1:x ightarrow y;y ightarrow -x;z ightarrow z 。由此我們可張出一個個的簡併子空間。 p 軌道依舊保持簡併， d 軌道劈裂成兩個軌道：

cite:Lecture_notes_on_electron_correlation and magnetism

能級劈裂圖如上上圖的右圖。關於能級劈裂後的能量高低，則可從電子分布做出定性判斷，這裡不談。

Jahn-Teller畸變說的是，考慮有限溫情形後，由於晶格振動，系統的最低能量態不再是立方結構，而會發生對稱性破缺為正方對稱性 T group, 因此能級發生進一步劈裂，如下圖：

cite:Lecture_notes_on_electron_correlation and magnetism

最後說一下 t_{2g},e_{g} 軌道的有效角動量，我們用 t_{2g} ,e_g 軌道對應的函數空間取計算角動量 L_z,L_y,L_x 的矩陣表示，會發現， t_{2g} 對應於角動量為1 的矩陣， e_g 為全0矩陣。因此立方晶體場結構中的 t_{2g} 有效軌道角動量為1， e_g 軌道有效角動量為0。

extbf{3.SPT Phase 與磁群簡介}

最後呢，是扯一個我還沒有具體學習，只聽過皮毛的東西。

SPT phase: 對稱性（S）保護(P)的拓撲(T)相;文本人稱之對稱性（S）保護(P)的平庸(T)相...

關於為什麼，可以去看一下文小剛老師本人的說法：

https://www.bilibili.com/video/av40361315/?p=1?

www.bilibili.com

文小剛反覆強調：量子力學不僅僅是線性代數，而是可進行直積分解的線性代數。

我們可以來看一個簡單的例子： SSH Model

（當然它是我認識里最簡單的SPT phase，也是最簡單的晶體體系之一）

cite: a short course on topological insulator

如上，體系具有周期性，且最小周期性單元（元胞）具有兩個格點，如上虛線所包裹的部分，且每個格點上只具有一個軌道，躍遷只存在於相鄰軌道之間，且元胞內躍遷強度為 v ,元胞間躍遷強度為 w ，用 A，B 標記元胞內的兩個軌道， m 標記元胞所處的位置。 用二次量子化的語言來寫：

H=vsum_{m=1}^N (hat{C}^{dagger}_{mA}hat{C}_{mB}+h.c) +wsum_{m=1}^{N-1}(hat{C}^{dagger}_{mB}hat{C}_{m+1A}+h.c)

由於元胞位置標記 m 與元胞內軌道標記 A,B 獨立，且一個元胞內只有兩個能級，故能泡利矩陣描述。總的哈密頓量可寫成元胞間躍遷與元胞內躍遷兩部分的直積：

H=vsum_{m=1}^N |m anglelangle m| otimessigma_x+wsum_{m=1}^{N-1} (|m anglelangle m+1|otimesfrac{sigma_x+i sigma_y}{2} +h.c)

（註：為什麼使用泡利矩陣？因為 （I，sigma_x,sigma_y,sigma_z）構成 2 imes2 厄米矩陣的完備基。由此「狄拉克方程」便出現在凝聚態系統中了。對於有些多能帶系統，還需考慮 4 imes4 的厄米矩陣，這時需引入兩套 （I，sigma_x,sigma_y,sigma_z） 的直積生成16個 Gamma 來表示哈密頓量,而通過對稱性分析我們可知有些 Gamma 矩陣前係數一定為0，這又是一個大話題，可在一群大佬給的 Bi_2Se_3 kp Model 的構建中看到：arxiv.org/pdf/1005.1682。）

OK，回到SPT phase，它說的是局域對稱性會保護系統中出現的拓撲相。局域對稱性,即對稱操作只會分立地影響系統的局部，這樣的對稱操作可直積分解為一列作用在局部區域的操作： O=otimes_{i=1}^N O_i ， O_i 只對區域 i 有影響。

如時間反演操作，使得每個電子的自旋翻轉。（對應的拓撲非平庸相：量子自旋霍爾效應 sigma_{xy}^{spin}=2frac{e^2}{h} ）

如SSH Model的手性對稱性（或稱為子晶格對稱性），即分別把每個元胞中的格點的位置交換系統不變。（對應的拓撲非平庸相：邊界態 Winding Number=1 ）

最後是磁群：每一本固體物理都會跟我介紹晶體，而晶體的對稱性分類早在19世紀就已經被數學家們玩透了：點群+平移構成晶體的空間群。如果沒錯的話，磁群的概念是應該近些年拓撲材料的火熱才出現的，因為自1988 Haldane 提出六角蜂房的反常量子霍爾效應以及2005 Kane 提出量子自旋霍爾效應後做凝聚態的人才開始密切關注時間反演對稱性。

磁群便是考慮了時間反演不變性的晶體群。

cite:2018年華中科技大學脈衝強磁場用戶年會

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