也就是說我們的目標就是讓紅的曲線最終可以儘可能靠近藍色曲線，越近越好，最好完全重合。這種思路，不禁讓我聯想到卡爾曼濾波器的功能，讓估計值儘可能的接近真實值。雖然前者是控制領域，後者是估計領域，但會不會有些什麼相通的地方呢？咱們接著往下挖。

其實我也是想了半天，感覺有點牽強，但硬著頭皮往下推到試試看吧。

根據貝葉斯框架，很容易把最前面的那個圖的數學模型寫出來，我們這一次對output信號做一個最優估計：

接下來，嘗試解釋一下貝葉斯公式上面的三項和實際物理意義之間的關係：

（1）首先最左邊一項：

是likelihood項，也就是最基本的相似度定義，這裡如果我們用L1 norm 來度量r(t)和y(t)之間的距離，也就是e(t), 當然可以在前面加一個係數，表示權重，這是一個非常工程的做法，於是我們就得到了：

（2）接下來是第二項：

是預測項，也就是基於上一時刻的值，來預測這一時刻的值。那麼在簡單的PID連續時間控制中，我們可以通過求一階級導數來預測下一時刻的值，當然前面也可以加一個係數來表示權重，於是我們就得到了：

（3）最後就是第三項了：

是先驗項，也就是代表過去的信息。由於我們不僅知道歷史上所有的r值， 也知道所有的y值，所以我們可以將上面的公式鏈式展開：

所以，相當於過去所有誤差相乘，然而對概率分布函數取ln， 得到能量函數後就成了相加，如果在時間域上是連續的，那麼就成為了積分表達：

驚奇的發現，把以上三相合在一起，就表達了PID的經典數學公式，這樣理解雖然有點曲折，不過也從一個側面證明很多理論其實是相同的，貝葉斯框架還是非常強大的，往往能夠深刻的理解一些東西。

以上推導也許有不對的地方，並不保證正確性，所以有興趣的朋友可以大概看看，如果有想法或者建議，可以留言或者私信我，非常樂意一起討論。

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