Schottky定理和Picard大定理
本文證明Schottky定理,再藉此證明Picard大定理
(關於記號和預備知識請參見下文
series:Bloch定理和Picard小定理Schottky定理 函數族 是內閉一致有界的,即 若 ,則
(其中 ,以下一致,其意義請參見上面給出的鏈接文章)
引理1 1)對於 若 則
2) ,存在 且
3)
證明:1)和3)都是初等的,只證明2),設 ,那麼 可以取 使得上式成立,從而 再由 得證#
引理2 設 且 ,那麼存在 使得
1)
2)
3) 有
證明: 且 (上一節的引理3和引理1)
而 從而 且
由上一節的推論3知 中不含半徑大於1的圓盤,從而對於3)中的 有 再由上一節的推論1知
從而 #
Schottky定理的證明: (由引理1的3))從而 代入引理2的3)2)立得#
對於任何區域G,我們可以用Schottky定理研究函數族 得到它的正規性(任何緊子集 和 的任何函數列,都存在在 上一致收斂的子列)
引理3 取定一點 函數族 是內閉一致有界的
證明:用Schottky定理得到存在 的某含於 的圓盤使 在其上一致有界,設 是 的一個子集滿足其上的任何點 ,都存在一個開鄰域 ,使 在這個開鄰域上一致有界,那麼由定義及Schottky定理知 是開集,如果 則 由於 ,就存在 的子列 使得 不妨設 設 ,則 (注意到 )且 ,從而由Schottky定理 在 的某鄰域 上一致有界,從而由Montel定理 有一個在 上一致收斂的子列,不妨仍設為 但由於 而 從而 於 (Hurwitz定理)注意到 這導致存在 的點 使 這是一個矛盾#
定理2 函數族 正規(廣義意義的),即任何一個 的函數列 和任何一個 的緊集 ,存在 的子列 使得其在 上一致收斂或者在 上任何點都趨於
證明:取定一點 ,定義 如引理3,若 中有無限項落在 中則用Montel定理得證;若 中有無限項不落在 中,則 中有無限項落在 中,從而由Montel定理可找到一致收斂的子列 ,假設極限函數是 若 於 ,則 一致收斂到 (藉助Montel定理讀者可自證若 是緊集上恆不取0的全純函數且一致收斂到1,則 也一致收斂到1,再用於函數列 ),若 於 上某點取0,則由Hurwitz定理知 於 ,也得證#
接下來用定理2證明Picard大定理
Picard大定理 設 有本性奇點 ,則在 的任何一個鄰域, 可以取到任何複數任何多次,除了一個可能的例外值
證明:假設 , ,只用證明若 ,則矛盾
考慮函數列 , ,則由定理2知 存在一個在 上一致收斂或者趨於無窮的子列 ,假設 一致收斂,則也一致有界,設 ,則對於 , ,依次對圓環 用最大模原理得 在 的鄰域內有界,矛盾
假設 趨於無窮,則討論 ,它在0的某鄰域有界,同樣矛盾#
參考文獻
GTM172 Classical Topics in Complex Function Theory. Reinhold Remmert
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