Schottky定理和Picard大定理

本文證明Schottky定理，再藉此證明Picard大定理

(關於記號和預備知識請參見下文

series：Bloch定理和Picard小定理?

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Schottky定理 函數族 $Im _{r,ar D}=left{ fin A(ar D)|0,1 otin Imf,left| f(0) ight|leq r ight}$ 是內閉一致有界的，即若 ,則 $left| f(z) ight|leq L(r,x):=exp(pi exp(pi(3+2r+Cfrac{x}{1-x})))$

(其中 $C=frac{1}{frac{3}{2}-sqrt2}$ ,以下一致,其意義請參見上面給出的鏈接文章)

引理1 1)對於若則

2) ,存在且

證明：1)和3)都是初等的，只證明2)，設 ,那麼 $w=cospi(x+iy)=frac{e^{pi (ix-y)}+e^{pi(y-ix)}}{2}=frac{e^{-pi y}+e^{pi y}}{2}cospi x+ifrac{e^{-pi y}-e^{pi y}}{2}sinpi x$ 可以取使得上式成立，從而 $left| w ight|^2=cosh^2{pi y}cos^2{pi x}+sinh^2{pi y}sin^2{pi x}=cos^2{pi x}+sinh^2{pi y}geq pi^2y^2$ 再由 $left| v ight|=sqrt{x^2+y^2}leq sqrt{1+left| w ight|^2/pi^2}leq 1+left| w ight|$ 得證#

引理2 設且 ,那麼存在使得

1) $f=frac{1+cospi(cospi g)}{2}$

3) 有 $left| g(z) ight|leq left| g(0) ight|+frac{Cx}{1-x}$

證明：且 (上一節的引理3和引理1)

而從而且

由上一節的推論3知中不含半徑大於1的圓盤，從而對於3)中的有再由上一節的推論1知 $frac{1}{C}(1-x)left| g(z) ight|leq 1$

從而 $left|g(z) ight|=left| g(0)+int_0^zg(w)dw ight|leqleft| g(0) ight|+left| int_0^zCfrac{1}{1-x}dw ight|$ $leq left| g(0) ight|+frac{Cx}{1-x}$ #

Schottky定理的證明： $forall win mathbb C,frac{1}{2}left| 1+cosw ight|=left| cos^2frac{w}{2} ight|leq (e^frac{w}{2})^2=e^w$ (由引理1的3))從而代入引理2的3)2)立得#

對於任何區域G,我們可以用Schottky定理研究函數族得到它的正規性(任何緊子集和的任何函數列，都存在在上一致收斂的子列)

引理3 取定一點函數族是內閉一致有界的

證明:用Schottky定理得到存在的某含於的圓盤使在其上一致有界，設是的一個子集滿足其上的任何點，都存在一個開鄰域，使在這個開鄰域上一致有界,那麼由定義及Schottky定理知是開集，如果則由於 ,就存在的子列 $left{ f_n ight}$ 使得不妨設設 $g_n(z)=frac{1}{f_n(z)}$ ,則 (注意到）且 $lim_{n ightarrowinfty}g_n(z)=0$ ，從而由Schottky定理在的某鄰域上一致有界，從而由Montel定理有一個在上一致收斂的子列，不妨仍設為但由於而 $lim_{n ightarrowinfty}g_n(z)=0$ 從而於 (Hurwitz定理)注意到這導致存在的點使這是一個矛盾#

定理2 函數族正規(廣義意義的)，即任何一個的函數列 $left{ f_n ight}$ 和任何一個的緊集，存在 $left{ f_n ight}$ 的子列 $left{ f_{n_k} ight}$ 使得其在上一致收斂或者在上任何點都趨於

證明:取定一點，定義如引理3，若 $left{ f_n ight}$ 中有無限項落在中則用Montel定理得證；若 $left{ f_n ight}$ 中有無限項不落在中，則 $left{ frac{1}{f_n} ight}$ 中有無限項落在中,從而由Montel定理可找到一致收斂的子列 $left{ frac{1}{f_{n_k}} ight}$ ,假設極限函數是若於 ,則 $left{ f_{n_k} ight}$ 一致收斂到 (藉助Montel定理讀者可自證若是緊集上恆不取0的全純函數且一致收斂到1，則也一致收斂到1,再用於函數列 $frac{1}{gf_{n_k}}$ )，若於上某點取0，則由Hurwitz定理知於，也得證#

接下來用定理2證明Picard大定理

Picard大定理 設有本性奇點，則在的任何一個鄰域，可以取到任何複數任何多次，除了一個可能的例外值

證明:假設 , ,只用證明若 ,則矛盾

考慮函數列 , ,則由定理2知 $left{f_n(z) ight}$ 存在一個在上一致收斂或者趨於無窮的子列 $left{ f_{n_k} ight}$ ，假設 $left{ f_{n_k} ight}$ 一致收斂，則也一致有界，設 $left| f_{n_k} ight|leq M$ ,則對於 $left|z ight|=frac{1}{2n_k}$ , ,依次對圓環 $left{ z:frac{1}{2n_{k+1}}leqleft| z ight|leqfrac{1}{2n_k} ight}$ 用最大模原理得在的鄰域內有界，矛盾