分析力學主線總結

Lagrange方程

設某質點具有質量m,在某時刻t處於空間的位置為 ,並在此時刻受到的外力為 ,具有的勢能為V,因此根據牛頓第二定律則有

$egin{aligned} mddot{vec{r}}&=vec{f}+vec{F}\ vec{F}&=-frac{partial V}{partial vec{r}} end{aligned}$

定義：質點的動能為

$T=frac{1}{2}m|ddot{vec{r}}|^{2}$

引入Lagrange函數 ,則有Lagrange方程

$frac{d}{dt}left(frac{partial L}{partial dot{vec{r}}} ight)-frac{partial L}{partial vec{r}}=0$

變分法

定義：泛函物理量 $J[y(x)]=int_{x_{0}}^{x_{1}}F(x,y,dot{y})dx$ ,引入變分

$egin{aligned} delta y&=ar{y}(x)-y(x)\ delta J&=J[ar{y}(x)]-J[y(x)] end{aligned}$

由於在初末兩端點函數y(x)值確定,故可以得到

$delta{y(x)|_{x=x_{0}}}=0 qquad delta{y(x)|_{x=x_{1}}}=0$

泛函極值條件為

因此求解

$egin{aligned}delta J&=delta int_{x_{0}}^{x_{1}} F(x,y,dot{y})dx\ &=int_{x_{0}}^{x_{1}}delta F(x,y,dot{y})dx\ &=int_{x_{0}}^{x_{1}}left(frac{partial F}{partial x}delta x+frac{partial F}{partial y}delta y+frac{partial F}{partial dot{y}}delta dot{y} ight)dx\ &=int_{x_{0}}^{x_{1}}left(frac{partial F}{partial y}delta y+frac{partial F}{partial dot{y}}delta dot{y} ight)dx\ &=int_{x_{0}}^{x_{1}}left(frac{partial F}{partial y}delta y+frac{partial dot{F}}{partial dot{y}}frac{d}{dx}delta y ight)dx\ &=int_{x_{0}}^{x_{1}}left[frac{partial F}{partial y}delta y+frac{d}{dx}left(frac{partial dot{F}}{partial dot{y}}delta y ight)-frac{d}{dx}left(frac{partial dot{F}}{partial dot{y}} ight)delta y ight]dx\ &=int_{x_{0}}^{x_{1}}left[frac{partial F}{partial y}delta y-frac{d}{dx}left(frac{partial dot{F}}{partial dot{y}} ight)delta y ight]dx\&=int_{x_{0}}^{x_{1}}left[frac{partial F}{partial y}-frac{d}{dx}left(frac{partial dot{F}}{partial dot{y}} ight) ight]delta ydx end{aligned}$

由於是任意的,要想滿足 ,必須有Euler方程

$frac{d}{dx}frac{partial F}{partial dot{y}}-frac{partial F}{partial y}=0$

而我們將F代為Lagrange量L=T-V,對應的x代為時間t,y為一維位置坐標r, 為速度 ,則有Euler-Lagrange方程

$frac{d}{dt}frac{partial L}{partial dot{r}}-frac{partial L}{partial r}=0$

(1)若Lagrange量不顯含位置,即 ,則有

$egin{aligned} frac{d}{dt}frac{partial L}{partial dot{r}}&=0\ frac{partial L}{partial dot{r}}&=Const. end{aligned}$

對應於牛頓力學中的動量守恆.

(2)若Lagrange量不顯含時間,即 ,則有

$egin{aligned} frac{d}{dt}left(dot{r}frac{partial L}{partial dot{r}}-L ight)&=ddot{r}frac{partial L}{dot{r}}+dot{r}frac{d}{dt}frac{partial L}{partial dot{r}}-frac{partial L}{partial x}dot{r}-frac{partial L}{partial dot{r}}ddot{r}\&= -dot{r}left(frac{partial L}{partial r}-frac{d}{dt}frac{partial L}{partial dot{r}} ight)\ &=0 end{aligned}$

對應於牛頓力學中的能量守恆.

類似地,若該坐標系是二維的,則泛函寫為 $J[u]=iint_{s}F(x,y,u,u_{x},u_{y})$ ,對應泛函極值滿足 ,則可得到二維坐標下的Euler方程

$frac{partial}{partial x}frac{partial F}{partial u_{x}}+frac{partial}{partial y}frac{partial F}{partial u_{y}}-frac{partial F}{partial u}=0$

Hamilton原理

Hamilton原理(最小作用量原理):已知在 $t_{1}$ 和 $t_{2}$ 時刻的廣義坐標分別為 $q_{j}(1)$ 和 $q_{j}(2)$ ,作用量

$S=int_{t_{1}}^{t_{2}}L(q_{j},dot{q_{j}};t)dt$

取極值。即變分為零

$delta S=delta int_{t_{1}}^{t_{2}}L(q_{j},dot{q_{j}};t)dt=0$

其中 $L=T(q_{j},dot{q_{j}};t)-V(q_{j},dot{q_{j}};t)$ .

原理是在大量觀察、實踐的基礎上,經過歸納、概括而得出的具有普遍意義的基本規律。Hamilton原理就是經過現實生活中通過對各種物理現象的總結,比如水總是從高處向低處流動,得到的一種具有普適意義的表達。簡單類比我們可以發現在物理的其它學科中有類似的結論,比如光學中的費馬原理。我認為這些原理都說明一件事:物質運動的方向性是唯一的,並且總是趨向於穩定位置。正是因為如此恰好符合變分的定義,Hamilton原理才會用變分進行表述。

Hamilton正則方程

定義：廣義坐標為 $q_{j}(t)$ ,則對應的廣義速度為 $dot{q}_{j}(t)$ 。

引入廣義動量 $p_{j}=frac{partial L}{partial dot{q}_{j}(t)}quad (j=1,2,...,g)$ ,選取廣義坐標和廣義動量作為獨立變數，則可以將廣義速度表示為

$dot{q_{j}}=dot{q_{j}}(q_{1},q_{2},...,q_{g};p_{1},p_{2},...,p_{g};t)$

因此，定義：Hamilton量為　

$H=Sigma_{j}p_{j}dot{q_{j}}-L=H(q_{j},p_{j};t)$

廣義坐標 $q_{j}$ 和廣義動量 $dot{q_{j}}$ 滿足Lagrange方程

$frac{d}{dt}frac{partial L}{partial dot{q_{j}}}-frac{partial L}{partial q_{j}}=0$

根據Hamilton原理

$egin{aligned} delta int_{t_{1}}^{t_{2}}Ldt&=delta int_{t_{1}}^{t_{2}}L(q_{j},dot{q_{j}};t)dt\ &=delta int_{t_{1}}^{t_{2}}(Sigma p_{j}dot{q_{j}}-H)dt\ &=int_{t_{1}}^{t_{2}}Sigma left(dot{q_{j}}delta p_{j}+p_{j}deltadot{q_{j}}-frac{partial H}{partial p_{j}}delta p_{j}-frac{partial H}{partial q_{j}}delta q_{j} ight)dt\ &=int_{t_{1}}^{t_{2}}Sigma left(dot{q_{j}}delta p_{j}+p_{j}frac{d}{dt}delta q_{j}-frac{partial H}{partial p_{j}}delta p_{j}-frac{partial H}{partial q_{j}}delta q_{j} ight)dt\ &=int_{t_{1}}^{t_{2}}Sigma left(dot{q_{j}}delta p_{j}+frac{d(p_{j}delta q_{j})}{dt}-dot{p_{j}}delta q_{j}-frac{partial H}{partial p_{j}}delta p_{j}-frac{partial H}{partial q_{j}}delta q_{j} ight)dt\ &=int_{t_{1}}^{t_{2}}Sigma left(dot{q_{j}}delta p_{j}-dot{p_{j}}delta q_{j}-frac{partial H}{partial p_{j}}delta p_{j}-frac{partial H}{partial q_{j}}delta q_{j} ight)dt\ &=int_{t_{1}}^{t_{2}}Sigma left[left(-dot{p_{j}}-frac{partial H}{partial q_{j}} ight)delta q_{j}dt +left(dot{q_{j}}-frac{partial H}{partial p_{j}} ight)delta p_{j} ight]\ &=0 end{aligned}$