金融隨機分析筆記1——概率論和布朗運動

Chapter 1. 一般概率論重要定義

1.定義（隨機過程）.設是一個指標集，稱，為上的隨機過程，如果滿足：，是上的隨機變數。且有以下性質：

$forall Binmathcal{B}(mathbb{R}),{X_t^{-1}}(B)inmathcal{F}$ ；
指標集非負，例如；
給定，為在時刻狀態；給定， $left{ {X_t}(omega):tinmathbb{T} ight}$ 稱為與相關的樣本路徑。

2.定義（域流）.在中，稱一族的子- 代數 $left{ mathcal{F}_t ight}_{tinmathbb{T}}$ 為域流（Filtration），如果滿足：，且， $mathcal{F_s}subseteqmathcal{F_s}subseteqmathcal{F}$ 。且稱 $(Omega,mathcal{F},left{ mathcal{F}_t ight}_{tinmathbb{T}},P)$ 為帶流的概率空間（Filtered Probability Space）。

域流可以理解為某時刻前的信息流，給定某時刻的域流意思是給定這個時刻及這個時刻前的所有信息。

3.定義（隨機變數生成的 -代數）.設為上的隨機變數，稱由 $left{ {X^{-1}}(B):Binmathcal{B}(mathbb{R}) ight}$ 生成的 -代數為由生成的 -代數，記為： $sigma(X)=sigmaleft{ {X^{-1}}(B):Binmathcal{B}(mathbb{R}) ight}$

可以這樣理解，有一些生成這個隨機變數的事件，表示這些事件產生的 -代數，即這些事件的差、並、交、補。

4.定義（可測性）.設為上的隨機變數，為的子- 代數，稱為 -可測，如果有： $sigma(X)subseteqmathcal{G}Leftrightarrowforall Binmathcal{B}(mathbb{R}),X^{-1}(B)subseteqmathcal{G}$

如果稱為 -可測，則給定一些事件，由這些事件的差、並、交、補等事件集合可以得出的值。

5.定義（適應性）.設 $left{ X_t ight}_{tinmathbb{T}}$ 為 $(Omega,mathcal{F},left{ mathcal{F}_t ight}_{tinmathbb{T}},P)$ 上的隨機過程，稱是 $mathcal{F}_t$ -適應（Adapted）的，如果滿足：，為 $mathcal{F}_t$ -可測。

6.定義（獨立性）.在上，設和均為的子- 代數，稱與獨立，若有：。

設均為隨機變數，稱與是獨立的，如果有：與獨立。

Chapter 2. 布朗運動

1.定義（-收斂）.設 $left{ X_n ight}_{n=1,2,cdots},X$ 均為中的，稱 $left{ X_n ight}$ -收斂於，若有：，且 $lim_{n ightarrowinfty}{E|X_n-X|^p}=0$ ，記為： $X_nxrightarrow{L^p}X$ 。

若，稱 -收斂為均方收斂；
，若 $X_nxrightarrow{L^{p_2}}X$ ，則有 $X_nxrightarrow{L^{p_1}}X$ 。

2.定義（鞅）.在上，稱隨機過程 $left{ X_t ight}_{tin[0,T]}$ 為關於域流 $left{ mathcal{F}_t ight}_{tin[0,T]}$ 的上鞅，若滿足：

是 $mathcal{F}_t$ -適應的；
；
對於 $tle sin[0,T],X_t{ge}E[X_s |mathcal{F_t}],a.s.$ ；

性質3.中換為，稱為 $mathcal{F}_t$ -下鞅；
若既為 $mathcal{F}_t$ -上鞅，也為 $mathcal{F}_t$ -下鞅，稱為 $mathcal{F}_t$ -鞅（Martingale）。

若為 $mathcal{F}_t$ -鞅，則其期望等於初值 $E[X_t]=E[X_t|mathcal{F_0}]=X_0$ ；其條件期望 $E[X_t |mathcal{F_s}]=X_s$ 。

3.定義（平穩/獨立增量）. $left{ X_t,t{ge}0 ight}$ 為一隨機過程，稱：

具有獨立增量，若：，及， $left{ X(t_i)-X(t_{i-1}),1{le}i{le}n ight}$ 互獨；
具有平穩增量，若：，及， $X(t_n)-X(t_{n-1})overset{d}{=}X(t_n-t_{n-1})-X(0)$ 。

4.定義（布朗運動）.在上，稱是一個布朗運動，若滿足：

，且關於連續；
具有獨立增量；
具有平穩增量，且。

對於，由獨立增量有獨立於 $mathcal{F_s}$ ，由平穩獨立增量有。

5.布朗運動的概率分布.對於，及 $0{le}t_0<t_1<cdots<t_n$ ，則有限維隨機向量 $m{X_n}=(W(t_1),W(t_2),cdots,W(t_n))^T$ 的期望、協方差矩陣和矩母函數：

期望 $E(m{X_n})=m{0}$ ，顯然；
協方差矩陣

$Cov(m{X_n})=E(m{X_n}m{X_n}^T)=(t_iwedge t_j)_{{1{le}i,j{le}n}\{n imes n}}=m{Sigma_n}= egin{pmatrix} t_1 & t_1 & t_1 & cdots & t_1\ t_1 & t_2 & t_2 & cdots & t_2\ t_1 & t_2 & t_3 & cdots & t_3\ vdots & vdots & vdots & ddots & vdots\ t_1 & t_2 & t_3 & cdots & t_n end{pmatrix}$

證明： ，有：

$egin{aligned} Cov[W(s)W(t)] &= E[W(s)W(t)]-E[W(s)]E[W(t)]\ &= E[W(s)W(t)] \ &= E[W(s)(W(t)-W(s))+W^2(s)]\ &= E[W(s)]E[W(t-s)] +E[W^2(s)]\ &=Var[W(s)]\ &=s end{aligned}$

矩母函數 $varphi_{X_n}(m{u})=E(e^{m{u}^Tm{X_n}})=E[e^{sum_{i=1}^{n}{u_iW(t_i)}}]=expleft{{frac{1}{2}m{u}^Tm{Sigma_n^{-1}}m{u}} ight}$

6.定理（布朗運動的鞅性質）.若為 $mathcal{F}_t$ -布朗運動，則為 $mathcal{F}_t$ -鞅。

證明：

顯然是 $mathcal{F}_t$ -適應的；
；
鞅等式成立：

$egin{aligned} E[W(t)|mathcal{F_s}]&=E[W(t)-W(s)+W(s)|mathcal{F_s}]\ &=E[W(t-s)|mathcal{F_s}]+E[W(s)|mathcal{F_s}]\ &=E[W(t-s)]+W(s)\ &=W(s) end{aligned}$

證明鞅等式時，利用的獨立增量性質，構造增量後拆分為與兩部分，前者與 $mathcal{F_s}$ 獨立，後者為 $mathcal{F_s}$ -可測。

7.定理.若為 $mathcal{F}_t$ -布朗運動，則：

是 $mathcal{F}_t$ -鞅；
$forall uinmathbb{R},e^{uW(t)-frac{u^2}{2}t}$ 是 $mathcal{F}_t$ -鞅。

8.定義（-階變差）.設且固定，取的劃分： $0{le}t_0<t_1<cdots<t_n=T$ ，記 $||{Pi}||=max_{j=0,1,cdots,n-1}(t_{j+1}-t_j)$ ；稱 $V_T^p(f)=lim_{||Pi|| ightarrow0}sum_{j=0}^{n-1}{|f(t_{j+1})-f(t_j)|^p}$ 為的 -階變差。

（一階變差）

$egin{aligned} V_T^1(f)&=lim_{||Pi|| ightarrow0}sum_{j=0}^{n-1}{|f(t_{j+1})-f(t_j)|}\ &=lim_{||Pi|| ightarrow0}sum_{j=0}^{n-1}{|f(t_{j}^*)|(t_{j+1}-t_j)}\ &=int_{0}^{T}|f(t)|dt end{aligned}$

9.布朗運動的樣本路徑性質. 作為的函數有以下性質：

關於連續；
任意區間內（無論區間多小），非單調；
在任意點處不可導；
任意區間內（無論區間多小），的一階變差為；
$forall tinmathbb{R^+}$ ，在上的二階變差為。

10.定理（布朗運動的二次變差）.設為布朗運動，則，布朗運動的二次變差。

證明：

$V_T^2(W)=lim_{||Pi|| ightarrow0}sum_{j=0}^{n-1}{|W(t_{j+1})-W(t_j)|^2}=lim_{||Pi|| ightarrow0}Q_Pi$

則： $E(Q_Pi)=sum_{j=0}^{n-1}{E[W(t_{j+1})-W(t_j)]^2}=sum_{j=0}^{n-1}(t_{j+1}-t_j)=T$

$egin{aligned} E[Q_Pi-E(Q_Pi)]^2&=E(Q_Pi-T)^2=Var(Q_Pi)\ &=sum_{j=0}^{n-1}{Var[W^2(t_{j+1}-t_j)]}\ &=sum_{j=0}^{n-1}left{E[W^4(t_{j+1}-t_j)]-E^2[W^2(t_{j+1}-t_j)] ight}\ &=sum_{j=0}^{n-1}[3(t_{j+1}-t_j)^2-(t_{j+1}-t_j)^2]\ &=2sum_{j=0}^{n-1}(t_{j+1}-t_j)^2\ &le2||Pi||sum_{j=0}^{n-1}(t_{j+1}-t_j)=2||Pi||T end{aligned}$

故時，，可見為 -收斂到，即，布朗運動的二次變差

證明過程用到了正態峰度的結論，即若，有其四階矩

11.定義（馬爾可夫過程）.稱隨機過程是相對於域流 $left{ mathcal{F}_t ight}_{tge0}$ 的馬爾可夫過程（Markov Process），若，及有界Borel可測函數 $phi:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}$ ，有：

$E[phi(X_t)|mathcal{F_s}]=E[phi(X_s)|sigma(X_s)],a.s.$ ，或等價地有：

$forall Ainmathcal{B}(mathbb{R}^d),mathbb{P}(X_tin A|mathcal{F_s})=mathbb{P}(X_sin A|mathcalsigma(X_s))$

12.定理（布朗運動的馬爾可夫性質）.若為 $mathcal{F}_t$ -布朗運動，則是相對於 $mathcal{F}_t$ 的馬爾可夫過程。

證明：

，及有界Borel可測函數， $egin{aligned} E[f(W_t)|mathcal{F_s}]&=E[f(W_{t-s}+W_s)|mathcal{F_s}]\ &=frac{1}{sqrt{2pi(t-s)}}int_{-infty}^{infty}f(w+W_s)e^{-frac{w^2}{2(t-s)}}dw\ end{aligned}$

令，得：

$egin{aligned} E[f(W_t)|mathcal{F_s}]&=frac{1}{sqrt{2pi au}}int_{-infty}^{infty}f(y)e^{-frac{(y-W_s)^2}{2 au}}dy\ end{aligned}$

定義布朗運動的轉移密度函數為 $ho( au,W_s ,y)=frac{1}{sqrt{2pi au}}e^{-frac{(y-W_s)^2}{2 au}}$ ，則：

$egin{aligned} E[f(W_t)|mathcal{F_s}]&=frac{1}{sqrt{2pi au}}int_{-infty}^{infty}f(y)e^{-frac{(y-W_s)^2}{2 au}}dy\ &=int_{-infty}^{infty}f(y)p( au,W_s,y)dy\ &=g(W_s) end{aligned}$

可見 $E[f(W_t)|mathcal{F_s}]$ 是關於的函數，與先前時刻無關，因此是馬爾可夫過程。

13.定義（停時）.在帶流概率空間 $(Omega,mathcal{F},left{ mathcal{F}_t ight}_{tge0},P)$ 中的一個，稱為隨機時（Random Time）。若隨機時滿足： $forall tin[0,infty),left{ Tle t ight}=left{ omega:T(omega)le t ight}inmathcal{F}_t$ ，則稱之為 $mathcal{F}_t$ -停時（Stopping Time）。

14.定義（首達時間）.設布朗運動，連續，為任意實數，定義水平為的首達時間為： $au_m=infleft{ tge0:W_t=m ight}$ 。

；
是一個停時。

15.定義（停止過程）.若是一個停時，為一隨機過程，則 $X_t^{ au}= left{egin{aligned} X_t,tle T\ X_ au,t>T end{aligned}<br /> ight.=X_{twedge au}$ 為一個停止過程。

$Z_t=expleft{ sigma W_t-frac{1}{2}sigma^2t ight}$ 是指數鞅；
停止過程 $Z_t^{ au_m}=Z_{twedge{ au_m}}$ 仍是一個鞅。

停止過程 $Z_{twedge au_m}$ 表示的是達到水平之前是隨機過程，達到水平之後一直保持這個值。

16.定理（首達時間有限）.對於，布朗運動關於水平的首達時間幾乎必然有限。

證明：

對於指數鞅有： $E[Z_{twedge au_m}]=Eigg[expleft{ sigma W_{twedge au_m}-frac{1}{2}sigma^2(twedge au_m) ight}igg]=Z_0=1$

假設，當，布朗運動總是不超過水平，故有： $0leexpleft{ sigma W_{twedge au_m} ight}leexpleft{ sigma m ight}$ ；

當時，若， $expleft{-frac{1}{2}sigma^2(twedge au_m) ight}=expleft{-frac{1}{2}sigma^2 au_m ight}$ ；

若， $expleft{-frac{1}{2}sigma^2(twedge au_m) ight}=expleft{-frac{1}{2}sigma^2t ight} ightarrow0$ ；

總之，有： $lim_{t ightarrowinfty}expleft{sigma W_{twedge au_m}-frac{1}{2}sigma^2(twedge au_m) ight}=mathbb{I}_{left{ au_m<infty ight}}expleft{sigma m-frac{1}{2}sigma^2 au_m ight}$

兩邊取期望，化為指數鞅的等式，故有： $1=Eigg[mathbb{I}_{left{ au_m<infty ight}}expleft{sigma m-frac{1}{2}sigma^2 au_m ight}igg]$ ；

或等價地有：

$Eigg[mathbb{I}_{left{ au_m<infty ight}}expleft{-frac{1}{2}sigma^2 au_m ight}igg]=e^{-sigma m}$

等式對所有成立，故令取極限，得到：

$Eig[mathbb{I}_{left{ au_m<infty ight}}ig]=1$ ，即 $mathbb{P}( au_m<infty)=1$ ；

由於以概率1有限，稱水平首達時間幾乎必然有限。

Chapter 2.5. 補充內容

1.定理（布朗運動的其他變差）.對於，選取劃分 $Pi:0{le}t_0<t_1<cdots<t_n=T$ ，當分點數目且最大子區間長度時，對布朗運動的幾乎所有路徑：

一階變差 $sum_{j=0}^{n-1}{|W(t_{j+1})-W(t_j)|}$ 趨於；
三次變差 $sum_{j=0}^{n-1}{|W(t_{j+1})-W(t_j)|^3}$ 收斂於。

（證明略.）

普通函數的一階變差有限，二次變差為；布朗運動與其他函數的區別在於其一階變差為，二次變差有限，三階變差為；這也是隨機微積分與普通的微積分的主要區別；
可以這樣類比，一個函數二階導數不為時，用 Taylor 展式逼近時如果僅用一次項，會產生很大的誤差，需要用二次項去逼近。

2.定義（協變差）.設且固定，取的劃分： $0{le}t_0<t_1<cdots<t_n=T$ ，記 $||{Pi}||=max_{j=0,1,cdots,n-1}(t_{j+1}-t_j)$ ；稱： $[f,g](t)=lim_{||Pi|| ightarrow0}sum_{j=0}^{n-1}{igg|ig[f(t_{j+1})-f(t_j)ig]·ig[g(t_{j+1})-g(t_j)ig]igg|}$