COMSOL、Maxwell等有限元軟體的劃分網格為什麼是三角形？
網格劃分在 2D 下是主要為三角形和四邊形之分，3D 下是主要為四面體和六面體之分，一般都從 3D 上來比較。
主要原因：
複雜 3D 幾何或結構中的細小特徵等，通常很難被六面體網格所精確描述，並且剖分難度大。但不管多複雜的幾何或多細微的特徵，卻總能被四面體所描述，剖分容易且速度也快。可以想像用方磚和用小尖石子拼接複雜造型的難度。
關於網格類型和精度：
很多模擬者可能存在一個概念：六面體網格比四面體網格精度高。
其實這是有條件的，對於單元來說，階數會影響精度，比如同等大小的 8 節點線性六面體精度一般會低於 10 節點的二階四面體網格。單元數量會影響精度，比如 10 萬網格的六面體網格精度一般也會低於 100 萬網格的四面體網格。網格剖分方式也會影響到精度，比如在分析相變過程時，相界面處的網格必須精細剖分，如果採用規則的六面體網格，可能會導致階梯狀相界面，而採用自動剖分的四面體反而容易避免該問題。當然，對於一個比較規則的結構，為達到同樣精度，同階次下六面體網格計算量是低於四面體的，畢竟一個長方體可以分成好幾個四面體。另外六面體網格的網格質量和穩定性一般也會高一些，因為節點更多。
數值演算法的不同對網格剖分有不同要求，對於有限差分法和有限體積法這些不需要積分全局殘差的演算法，在控制誤差以及優化求解速度上六面體的網格明顯更有優勢。相應的這些軟體或者為這些軟體提供網格剖分前處理的軟體就會大力宣傳六面體網格的優越性，最終讓我們都覺得六面體網格優於四面體網格。但其實對於有限單元法，不管怎樣的網格，都需要積分全局殘差來調控精度的，網格選擇上比較靈活，六面體和四面體區別沒那麼大，而有限元比較有限差分和有限體積的一項優勢就是可以應用於任意複雜幾何，此時當然偏向於使用容易剖分且適配度的四面體網格。
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樓缺嘿（只用過COMSOL 強答 ）
我的看法：三角形（二維）或者四面體單元（三維）最基礎，適用面最大，最易操控。
處理二維模型時，一般運用到的網格形狀時三角形或四邊形。三角形作為最簡單的平面形狀能夠切割四邊形五邊形等等更多邊的形狀。
也就是說如果一個二維模型能夠用四邊形完美劃分的話，他一定也能用三角形完美劃分。然而，一個能夠用三角形劃分的模型不一定能夠被四邊形劃分（比如三角本身無法劃分為四邊形）。
同理，在三維問題面前。四面體是比六面體、三角稜柱，以及金字塔形單元更為基礎的切割單位。
因此，三角形和四邊形是適用面最廣的劃分方式。他們可以用於對任何幾何圖形進行網格劃分。
四面體單元是 COMSOL 中大部分物理場的預設單元類型。四面體也稱簡化網格，簡言之，它是指任何三維體都可以利用四面體進行網格剖分，而不論其形狀或是拓撲如何。它們也是唯一一種可用於自適應網格細化的單元類型。因此，四面體通常是您的第一選擇。
這也就是為什麼有限元軟體自動的網格劃分演算法使用的都是四面體單元，一般只有在手動模式下才能夠修改為六面體、三角稜柱，金字塔形等其他形狀。
COMSOL Multiphysics 中每一個網格剖分操作都可以生成與相應幾何結構相符的網格。不過，位於「模型開發器」中自由四面體節點下的四面體網格生成器是唯一一個三維網格生成器，它不僅能完全自動地執行操作，還能應用到全部幾何結構。因為四面體網格生成器創建的是非結構化網格（不規則分佈節點構成的網格），所以它極其適用於形狀複雜、網格大小多變的幾何結構。在 COMSOL Multiphysics 中，各種物理場和多物理場都會使用四面體網格，因此網格生成器必須具有強大的靈活性：它應當能生成極細的網格、極粗的網格，並且在彎曲邊界上生成解析度的網格，在狹窄區域剖分各向異性單元。
參考內容：
COMSOL 博客 幾何的網格剖分：各類單元的適用場景?cn.comsol.comCOMSOL 博客 線性靜態問題的網格剖分注意事項?cn.comsol.comCOMSOL 博客 改進的四面體單元網格剖分功能?cn.comsol.com
（只用過COMSOL 強答 ）
我的看法：三角形（二維）或者四面體單元（三維）最基礎，適用面最大，最易操控。
處理二維模型時，一般運用到的網格形狀時三角形或四邊形。三角形作為最簡單的平面形狀能夠切割四邊形五邊形等等更多邊的形狀。
也就是說如果一個二維模型能夠用四邊形完美劃分的話，他一定也能用三角形完美劃分。然而，一個能夠用三角形劃分的模型不一定能夠被四邊形劃分（比如三角本身無法劃分為四邊形）。
同理，在三維問題面前。四面體是比六面體、三角稜柱，以及金字塔形單元更為基礎的切割單位。
因此，三角形和四邊形是適用面最廣的劃分方式。他們可以用於對任何幾何圖形進行網格劃分。
四面體單元是 COMSOL 中大部分物理場的預設單元類型。四面體也稱簡化網格，簡言之，它是指任何三維體都可以利用四面體進行網格剖分，而不論其形狀或是拓撲如何。它們也是唯一一種可用於自適應網格細化的單元類型。因此，四面體通常是您的第一選擇。
這也就是為什麼有限元軟體自動的網格劃分演算法使用的都是四面體單元，一般只有在手動模式下才能夠修改為六面體、三角稜柱，金字塔形等其他形狀。
COMSOL Multiphysics 中每一個網格剖分操作都可以生成與相應幾何結構相符的網格。不過，位於「模型開發器」中自由四面體節點下的四面體網格生成器是唯一一個三維網格生成器，它不僅能完全自動地執行操作，還能應用到全部幾何結構。因為四面體網格生成器創建的是非結構化網格（不規則分佈節點構成的網格），所以它極其適用於形狀複雜、網格大小多變的幾何結構。在 COMSOL Multiphysics 中，各種物理場和多物理場都會使用四面體網格，因此網格生成器必須具有強大的靈活性：它應當能生成極細的網格、極粗的網格，並且在彎曲邊界上生成解析度的網格，在狹窄區域剖分各向異性單元。
參考內容：
COMSOL 博客 幾何的網格剖分：各類單元的適用場景?cn.comsol.comCOMSOL 博客 線性靜態問題的網格剖分注意事項?cn.comsol.comCOMSOL 博客 改進的四面體單元網格剖分功能?cn.comsol.com
除了網格劃分難題之外，還需要考慮下非結構化網格計算時候每個計算單元投影到標準單元（參考單元）的問題。
在有限元裏不會儲存每個單元內基函數，一般都是投影到標準單元進行計算。
在二維情況下，除了三角形能夠進行線性投影，其他多邊形都是非線性投影，這會使Jacobian行列式計算出現一些困難；當投影表達式過於複雜時，需要儲存每個單元的質量矩陣剛度矩陣等，計算時會需要更高的內存帶寬，再快的浮點計算速度也無濟於事。
對於三維情況也是同理，除了四面體，其他任意多面體投影到標準單元時也是非線性投影。
我覺得可能有兩點吧：
- 這類的網格有更廣泛的適用性。尤其是在複雜的幾何結構的時候。
- 在做physical cell到reference cell轉換的時候，四邊形和六面體需要做一個bi-linear transformation或者tri-linear transformation。在做這一步的時候，需要解一個非線性的方程。這樣會影響計算速度。
說白了其實就是為了便捷和簡單。
因為自動六面體剖分是世界級難題啊
樓主這麼問，想必是知道的，對大多數計算問題，六面體優於四面體，四邊形優於三角形。
可是，正如人的能力是有限的，軟體的資金投入也是一樣，所以有個著重點。網格劃分和計算求解，其比重一半一半，如果不能內外兼得，就得看公司怎麼取捨。顯然，COMSOL的定位跟ANSYS Fluent、MSC Nastran一樣，是取求解器這個「內勢」。
而相應網格劃分「外勢」，則有Hypermesh、Icem等高手在，甚至Siemens NX之類CAD大師都開始插一腳，既然沒有競爭優勢，那就沒必要事倍功半。況且，在有限元領域，網格劃分和求解器用不同軟體這是常規操作。它們只劃分三角形網格，並不妨礙你用其他軟體劃分六面體網格，再用它們來求解。其他回答提到了電磁場，這個不瞭解。
二維三角形單元和三維四面體單元的一次形函數都是bary-center函數。這類函數或它們之間的積在單元裏的積分是有解析解的（貌似高次的也可以，待確認）。相對，四邊形和六面體的Lagrange形函數或它們的積分都需要用Numerical quadrature。如此一來要求積分精度越高時，四邊形單元的計算量大於三角形單元。
這個問題值得從哲學層面來解釋。
一生二，二生三，三生萬物，三角形網格就是面模擬世界裡的「三」，而四面體網格就是體網格模擬世界裡的「三"。
有沒有道理？細想一下，點個贊同看看有多少人認同。
求解積分方程時，一般都是Galerkin法將一個三維連續問題的方程離散化，也就是一方面方程待解變數投影到基函數上（待解函數與基函數的內積），另一方面方程左右兩側投影到檢驗函數上（方程左右和檢驗函數內積）。這樣我們就能將帶著並失格林函數積分的運算元轉為一個可以讓計算機跑的矩陣（阻抗矩陣）。
而三維問題中，並失格林函數存在一個二階微分項，這種情況下離散化後，微分運算元就作用到了基函數和檢驗函數，也就要求基函數和檢驗函數可微。如果用方塊網格（即脈衝基），則存在不連續點使得導數不存在，這樣離散後的阻抗矩陣沒法算。而採用三角形網格（即RWG基）則可導，所以大部分離散都是用RWG基函數離散，以確保Galerkin法正常使用。
唯一能剖矩形三維網格的是有限差分的方法。那玩意兒符合旋度運算元描述的場的左手螺旋關係，所以是直接求解微分方程，也就直接差分了，不在乎連續性。不過精度比求積分方程略低一些，好像是因為樣條函數不能構成空間中的完備基，所以比不上基函數投影的方法。
中科院某所某研究員對我們課題組說：對於電磁場而言，四面體精度最高！
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