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無理數的定義里說：無理數，也稱為無限不循環小數，不能寫作兩整數之比。

我不明白為什麼會出現不能寫作兩整數之比。

你要學會問問題啊，你這個問題屬於廢話，因為無理數的定義就是不能寫成整數之比的數，或者說，是因為分數不夠用了，使得 [公式] 這種方程解不出來了，我們才被迫發明無理數的。

而從你的問題描述看來，你要問的真正問題是：

為什麼無理數沒有循環節？

要回答這個問題，我們只需要反過來，找出任意一個循環小數化成分數的方法就是了。

對於任何一個循環小數可以拆分為兩個部分 [公式] ，其中 [公式] 是有限小數，其小數位數為 [公式] ，[公式] 是不循環部分全是0的循環小數，其循環節為 [公式] ，長度為 [公式] ，那麼化為分數就是

[公式]

這次再加一個逆命題的證明，徹底證明無理數和無限不循環小數的等價性，之前證明了任何無限循環小數和有限小數（看作循環節為0）都可以化為分數，反過來，任何分數也能化為有限小數或無限循環小數。

考慮 [公式] ，如果能找到一個 [公式] ，那麼直接就可以通過帶余除法有 [公式] ，因此只需證明存在 [公式] 使得 [公式] 。

首先作分解 [公式] ，其中 [公式] ，只需取 [公式] ，那麼 [公式] ，現在剩下證明存在 [公式] 使得[公式] 。

考慮同餘環 [公式] ,計 [公式] ,由於10和 [公式] 互素，因此存在 [公式] 使得 [公式] ，從而 [公式] ，從而 [公式] 不是0因子，考慮 [公式] 生成的循環群，由於 [公式] 是有限的，它也應該有限，記作 [公式] ，它全都是可逆元。因為 [公式] ，而可逆元滿足消去律，直接有 [公式] 。

此時我們直接取 [公式] ，就有 [公式] ，即有 [公式] 。

順便還得出了一個推論：

分母（約分後）的質因數只含2和5的分數是有限小數，不含2和5的是純循環小數，其餘的是混循環小數。

無理數集合是有理數集合之外的集合，兩者沒交集，並集為完備實數集。

這是第二次數學危機後的數學公理化運動，戴德金分隔的證明內容。

假如無理數能寫作兩個整數之比，那麼無理數集合就和有理數集合之間有交集了。

戴德金分隔不了解的同學看李永樂老師這期視頻，好好上課別開小差。

轉自@李永樂老師官方

首先無理數的定義就是不能寫成兩個整數之比的數。

其次才是無理數一定是無限不循環小數，因為無限循環小數都可以寫成兩個整數之比。

也可以證明某些無理數不能寫成整數之比，比如 [公式] 。

假設 [公式]

則 [公式] ,故 [公式]

故 [公式] ，與p,q互質矛盾

更新：我只是覺得題主想知道的是被稱為無理數的這種數為什麼具有不可同約這種性質（我覺得可以稱作性質，我認為性質包含種差的概念，也就是無理數和其他數不同的地方）。所以舉了比較好理解的根號2不可通約的例子。我認為一些問題的產生是對這個問題沒有一個大體的、相對直觀的認識，所以寫了這個答案。如果回答不是正確的，希望大家告訴我。

我有時候也會有這種問題，實際上可能只是單純的邏輯沒轉過來，我這裡沒有證明，只盤一盤邏輯。

前提1.對於無限位數的小數來說，除了無限不循環小數，就是無限循環小數。這一條等價於，在實數中，除了無理數就是有理數，反之亦然(算是公理吧)。這意味著，當我們說一個數不是有理數時，他一定是無理數，這是問題的關鍵。

前提2.如果一個數是有理數，那它必可以寫成兩個整數之比。有理數可寫成兩個整數之比是有理數的一個充要條件，證明挺經典的，各種數學趣味讀物上都有，這裡就不多嘴了。這意味著，如果一個數不能寫成兩個整數之比，那他就不是有理數。

2:如果一個數不能寫成兩個整數之比，那他就不是有理數;1:如果一個數不是有理數，那他是無理數。

→結論:如果一個數不能寫成兩個整數之比，那他是無理數。

這跟 無理數不能寫成兩個整數之比 就完全是一個意思啦。(所以是純閱讀理解問題？)

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