首先題主要明白一點，向心力是效果力而不是性質力。向心力是人們為了研究方便而引入的概念，實際上是沒有這個力的，也就不存在所謂「向心力把物體拉向圓心」了。物體的速度方向不指向圓心

附個圖

向心力的供需關係。

當合外力剛好提供物體所需的向心加速度時，物體作勻速圓周運動；當合外力不足以提供所需的向心加速度時，物體作離心運動；當合外力大於物體所需的向心力時，物體作向心運動，簡稱為向心力的供需關係。如下圖所示：軌跡1為合外力為0時的運動軌跡；軌跡2合外力小於所需向心力的運動軌跡；軌跡3為合外力大於所需向心力的運動軌跡。

典型的因果倒置，是因為有了向心力物體才做圓周運動而不是物體做圓周運動導致物體受向心力。

物體所受合力[公式] 中，始終和速度 [公式] 保持90度夾角的力稱為速度 [公式] 的法向力 [公式] ，始終和速度 [公式] 保持同一直線的力稱為速度 [公式] 的切向力 [公式]

向心力（centripetal force）是使得物體產生（向心）旋轉效果的效果力，只有法向力 [公式]能提供物體旋轉所需的向心力，是否靠近圓心，要看r=v/w=v^2/an 是否變小，這裡的r是曲線軌跡的曲率圓半徑，v是速度，w是角速度，an是法向加速度，下面做簡單解釋並舉例。

僅有法向力[公式]時，

1.從物理角度，

輸出功率 [公式] ，不對物體做功，動能 [公式] 不變，速度 [公式] 的大小不變。

2.從數學角度，

物體的速度 [公式] 自始至終都僅在其垂直方向上有一個加速度 [公式] ，

則 [公式] ，對其積分有 [公式]

同樣可以得出，速度 [公式] 的大小不變。

所以，加速度 [公式] 唯一能改變的是速度 [公式] 的方向，即前後速度 [公式] 的方向的角度變化。

當速度 [公式] 在一個平面內由 [公式] 變為 [公式] ，將所有變化的速度 [公式] 的起始點集中到原點，則他們的終點劃過一個圓弧，加速度 [公式] 的積分[公式] 即是速度 [公式] 的變化 [公式] ，而加速度軌跡的積分 [公式] 即是以 [公式] 為半徑的圓的弧長.

由 [公式] ，

[公式] ,對其關於時間t求導有 [公式]

定義 [公式] 為速度 [公式] 單位時間的角度變化，即角速度 [公式] ,

其方向用於標示當前加速度[公式]和速度[公式]所在的平面，為該平面的法向，和 [公式] 同向（因為加速度 [公式] 始終垂直於速度 [公式] ，所以兩者的角度變化速度 [公式] 等價；）

當角速度 [公式] 不變，則物體在一個平面內做運動，加速度[公式] 不變，[公式]的方向不變

由[公式] ，任意時間段內速度[公式]和加速度[公式]的軌跡長度成正比，且兩者始終垂直 ，則速度 [公式]類似於加速度[公式]繞速度的反方向所指向的交點一樣繞加速度方向所指向的交點做圓周運動，（也可利用加加速度和速度方向相反來證明當角速度 [公式] 不變時，物體做圓周運動，可參看草稿）。

此時，[公式] =&> [公式]，如果定義 [公式] 的方向和加速度[公式]相反，由圓心指向圓弧，則 [公式]

當同時存在法向力[公式]和切向力 [公式]時，

[公式]

角速度公式不變，仍受法向加速度控制 , [公式]=&>[公式]

公式[公式] 為瞬態的速度、角速度關係（[公式]）

由以上兩式可得， [公式]，其中r為軌跡點的曲率圓半徑。

對式[公式] 求導有 [公式]

如果r為不變值，則有 [公式]， 這種情況一般出現在剛體繞軸旋轉的過程中，轉矩 [公式] ,其中的 [公式] 就是轉動慣量。

法向力[公式]驅動物體以 [公式] 的角速度旋轉，切向力 [公式]驅動物體以 [公式] 的加速度直線前進

下圖運動控制系統中的「六自由度」控制分別對應 x/y/z 軸的旋轉角速度和直線加速度的矢量疊加控制，從角速度的公式可以看出它和法向加速度 [公式] 和當前瞬態速度[公式]相關。

在下圖的「飛車走壁」中，當車處於穩定飛行時，車受到（牆壁的支持力，地球重力，機車牽引力，行進方向上的滾動摩擦力，側面向上的靜摩擦力）的合力[公式]指向當前水平面的圓心，當前運動半徑為r時，則[公式]= [公式]

如果車手加速，牆壁會提供更大的支持力N來維持水平方向的圓周運動，這導致支持力N在垂直方向的分量產生向上的加速度，車子會向更高處越遷，直到達到新的平衡。

下圖是勻強磁場下的氣泡室中電荷的運動，電荷受阻力作用速度[公式]和加速度 [公式] 下降，但[公式] 角速度不變，運動半徑R= [公式] 下降。

向心力是一種束縛物體做旋轉運動的力，強子對撞機中，利用超導磁體產生的可調強磁場作用於帶電電荷，使之在不斷加速後，仍能在不斷提升的洛倫茲力束縛下沿固定圓周軌道飛行。

以重力為例，

質量為m的物體，距離地球為R的圓球面所受重力加速度大小的為 [公式]

如果它的速度[公式] 滿足 [公式]，且與重力垂直，該物體將在重力牽引下在該重力等勢面做圓周運動。

如果它的速度[公式] 滿足[公式]，該物體所受重力束縛力過強，它將受重力作用先做向心運動，最終將在R-h的重力等勢面附近做橢圓運動，或直接撞向地球。

如果它的速度[公式] 滿足[公式]，該物體所受重力不足以使其束縛在當前重力等勢面，它將克服重力先做離心運動，最終將在R+h的重力等勢面附近做橢圓運動。

如果它的速度 [公式] 滿足 [公式] ，則它將克服地球引力束縛，做拋物線離心運動。

&&>&>&>&>&>&>&>&>&>&>&>&>&>&>&>&>&>&>&>&>&>

&>&>&>&>&>1

當加速度[公式] 不變，

則 [公式] =&> [公式]

也就是說，加速度 [公式] 垂直於加速度的變化率 [公式] ，那麼 [公式]和速度 [公式]同一直線

對 [公式] 求導有 [公式] ，即 [公式]

將所有變化的加速度 [公式] 的終點集中到原點，則他們的起始點劃過一個圓弧，加速度的變化率 [公式] 的積分[公式] 即是加速度 [公式] 的變化 [公式] ，而加速度的變化率 [公式]軌跡的積分 [公式] 即是弧長， [公式]

那麼，如果加速度的變化率 [公式]的軌跡積分是一個以 [公式] 為半徑的圓的弧長，那麼和其反向的速度 [公式] 的軌跡積分必然也是一個圓弧弧長，其所作的運動則是以r為半徑的圓周運動，且加速度[公式]始終指向同一個圓心。

&>&>&>&>&>&>2

反過來，因為加速度 [公式] 的大小不變

則 [公式]

則 [公式] ，也就是說，加速度 [公式] 垂直於 [公式] ，加加速度 [公式]和速度 [公式]同一直線

對[公式] 求導，則 [公式] ，也就是說，加加速度 [公式]和速度 [公式] 反向，且其大小不變

類似的推導可以得出n階加速度 [公式]總是和[公式]垂直，總是和[公式]反向

且 [公式]

[公式]的積分 [公式] 即是加速度的變化量，二重積分[公式] 即是速度的變化量

當速度 [公式] 在垂直方向由加速度 [公式] 產生速度的增量 [公式]，則在速度方向會由於加加速度 [公式] 的存在而產生[公式] 的速度減量，同理會有 [公式]不斷補償加速度 [公式] 和速度[公式]的各階變化量，以使得，加速度 [公式] 始終垂直於速度 [公式]，且 [公式] 和 [公式] 的大小不變。

如果考慮一個小段時間 [公式] ，那麼速度可以泰勒展開為

[公式]

向心力是物體做圓周運動需要的力，是由法向合外力提供的。如果物體某時刻受到的法向合力大於需要的向心力，軌跡就會靠近圓心；如果法向合力等於需要的向心力，那麼軌跡就是圓；如果法向合力小於需要的向心力，軌跡會遠離圓心。

這只是一瞬間的判斷，下一時刻又要重新判斷。所以我們不可能受力分析確定物體做圓周運動。

只能是物體已經在做圓周運動了，我們纔去受力分析 ，算出法向合外力等於需要的向心力。這與我們之前學得運動是相反的。

還不懂就自己留言。

如果沒有向心力，物體將沿直線（切線）方向運動，正是因為運動物體受到向心力的作用，才把它拉回到圓周軌道的，該物體運動的切線軌道和圓周軌道是兩回事，之所以物體沒有走切線軌道而沿圓周軌道，就是向心力把它從切線軌道拉回到了圓周軌道，這就是向心力的作用，也僅此而已。切記向心力和離心力是作用與反作用，請參考論文《人造衛星運行中的向心力和離心力問題》，有人把這個問題搞錯了，認為向心力和離心力不存在，是假想力，急需要糾正。

因為物體還在受到離心力

其實一直有靠近圓心的趨勢，但實際上並沒有靠近，要是沒有向心力物體就會離圓心越來越遠

推薦閱讀：
相關文章