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定義是種簡寫，例如

定義 A?B 表示：?x（x∈A → x∈B）

只不過平時那個 「表示：」被寫成當且僅當。

公理的話，往往是規定了一些

1，基本的存在對象

例如，空集公理就是

彐x?y not y∈x

你當然可以定義

x是空集：?y not y∈x

但是你確定不了是否存在x是空集，並且如果沒有外延公理：

?x，y （x=y ←→ ?t（t∈y←→t∈x））

你也確定不了空集是否唯一

2，基本的關係

上面所說，外延公理規定了基本謂詞「=」與「∈」的關係。

聰明的小朋友看了外延公理可能會問，「=」能不能用∈定義呢

定義 x=y 表示：?t（t∈y←→t∈x）

其實=關係是普遍用於各種邏輯系統中的，並且有更基本的等詞公理：

?x，y（x=y → （A（x）→A（y）））

也就是說，等詞是所有邏輯系統中的基本謂詞。

如果我們增加一條公理：

?A，B（A?B ←→ ?x（x∈A → x∈B））

那就顯得不必要，所有我們不需要符號?，只把它看成簡寫，看成一個定義。

或者在PA（皮亞諾算術）系統中，

公理：?x not （S（x）=0）

規定了 函數符號S，謂詞「=」，常元0，之間的關係，如果只是定義符合這個條件的對象是0，同樣我們既不知道0是否存在，是否唯一（唯一性是由 數學歸納法公理確定的）。

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數學的研究的起點是定義和公理，數學就是在其之上運用邏輯構建的一門學問。

個人認為：公理在早期的認識中被認為是不證自明的命題，這種認識好像標定了公理就是這個客觀世界上存在的永恆的真理，但是人們後來認識到歐氏幾何的平行公理既不能被證明也不能被證偽，將平行公理修改後又可以發展一套新的幾何學，這說明瞭公理並不等於真理，不過也是為了適應某種情境下的一種人為規定，但大多從經驗而來，符合大多數人的主觀認識。

而定義往往是為了描述後面的數學命題而提前而做好的規定，或是為了描述問題的方便，或是為了符合邏輯的自洽，等等。

因此，從本質上講，公理與定義都是人為的強行規定，定義可以看成是我們共同遵守的一套數學描述方式，是我們構建數學大廈之前的準備工作，而公理則是我們構建數學大廈所使用的沙子和水泥。形象的說，蓋樓不僅只可以用沙子和水泥，還可以用磚頭啊！

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公理：不正自明的命題

定義：人為的賦予某一個名詞或句子一個特定含義

所以差距很大的

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你可以理解成，公理是社會經驗總結所得，無需證明，拿來就用。

當然，只看這一點，定義也是後面定理，推理以及一些結論的大前提，也可以拿來就用，不過定義往往是人為規定。

所以有一位物理大佬（誰，我也忘了）曾經說過一句話，越是大家默認的，常見的，社會經驗總結所得的，越難以證明，可以理解，但是確實不好證明。

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公理是證明定義的過程 定義是公理的結果。

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簡單的說，就是公理針對所有學科，定義針對一個學科。

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