4-3-3 计算能量

By @Charge @胡大师

用标记相互作用电子系统的哈密顿量。有了波函数之后，我们可以使用变分法求 $mathinner{langle phi_N|mathcal{H}|phi_N}mathinner{ angle }$ 的最小值，从而确定。

而使用了之后，粒子数不再固定，要增加约束条件，从而我们要最小化的公式变为：

$mathinner{langle ilde{phi}|mathcal{H}| ilde{phi}}mathinner{ angle }-E_Fmathinner{langle ilde{phi}|N| ilde{phi}}mathinner{ angle } \4.58$

这里的是粒子的数目，是拉格朗日乘子，也叫费米level。我们可以把哈密顿量重新写为： $mathcal{H}-E_FN$ 。

动能项为： $mathcal{H}_0=sum_{old{k}alpha}xi_old{k}a_{old{k}alpha}^+a_{old{k}alpha} \ xi_old{k}=frac{hbar^2 old{k}^2}{2m}-E_F\4.59$

势能项描述了两个电子的散射：

这一项考虑了电子电子相互作用和动量守恒。

这个哈密顿量中，对计算有影响的部分可以分成三块来看：

1和2的讨论已经在常规的金属中包括了。这一部分可以包含在 $xi_old{k}$ 中，暂时我们忽略它。

3是产生超导的部分。可以把波函数分成两部分： $phi_{old{k}1}$ 和 $phi_{old{k}0}$ 分别描述被占据和未被占据的一对电子态。

$ilde{phi}=v_{old{k}}phi_{old{k}1}+u_{old{k}}phi_{old{k}0} \4.62$

也即没有占据的用u，占据的用v。

当描述两对电子和时，把4.62连×得到4-63

$ilde{phi}=(v_{old{k}}phi_{old{k}1}+u_{old{k}}phi_{old{k}0} )(v_{old{l}}phi_{old{l}1}+u_{old{l}}phi_{old{l}0} )\4.63$

4-63一共有四项，只有自旋相反的两项会保留下来，所以4-64第二项前面的二分之一消失不见。

$mathinner{langle phi_N|mathcal{H}-E_F N|phi_N}mathinner{ angle }=2sum_{old{k}}xi_{old{k}}v^2_{old{k}}+sum_{old{kl}}V_{old{kl}}u_{old{k}}v_{old{k}}u_{old{l}}v_{old{l}}\4.64$

为了完成变分，我们还要使用上一节证明的 $u_{old{k}}^2+v_{old{k}}^2=1$

it is useful to put:

我们定义：

$Delta_{old{k}}=-sum_{old{l}}V_old{kl}u_old{l}v_old{l}=-sum_{old{l}}frac{1}{2}V_old{kl}sin2 heta_{old{l}}\4.68$

这个函数叫做gap function。

也即把4-67右边重新定义了一下，所以有4-70

$an 2 heta_{old{k}}=-frac{Delta_{old{k}}}{xi_{old{k}}} \4.70$

我们再定义：

$varepsilon_old{k}=sqrt{xi_old{k}^2+Delta_{old{k}}^2}\4.69$

我们将会看到(4-3-4): $varepsilon_old{k}$ is the energy required to add an electron to the system in a state k.

所以有4-71与4-72

$sin 2 heta_{old{k}}=2u_old{k}v_old{k}=frac{Delta_old{k}}{epsilon_old{k}} \4.71$

$cos 2 heta_{old{k}}=-u_old{k}^2+v_old{k}^2=-frac{xi_old{k}}{epsilon_old{k}} \4.72$

4.72中负号的来源是，对于fermi 球的case，也即 $|old{k}|<k_F$ 完全占据， $|old{k}|>k_F$ 为空的情况，粒子数目可以收敛。

这种情况下，BCS波函数的写法为：

$|old{k}|<k_F$ 时，u_k=0,v_k=1

$|old{k}|>k_F$ 时，u_k=1,v_k=0

有了4.71和4.72之后，我们可以得到4-73：

$Delta_{old{k}}=-sum_{old{l}}V_old{kl}u_old{l}v_old{l}=-sum_{old{l}}V_old{kl}frac{Delta_old{l}}{2epsilon_old{l}} =sum_{old{l}}V_old{kl}frac{Delta_old{l}}{2sqrt{Delta_old{l}^2+xi_{old{l}}^2}} \4.73$

这个方程拥有一个trival的解， $Delta_{old{k}}=0$ ，解4-74，利用4.71和4.72，我们得到4.75

（解4-74虽然只写出来了v，但是我们有约束条件）

对应的波函数是4-75。这种情况对应无相互作用的费米气。

$|old{k}|<k_F$ 时，u_k=0,v_k=1

$|old{k}|>k_F$ 时，u_k=1,v_k=0

这个方程还存在non-trival的解，对于4-76描述的BCS相互作用势能（V是一个正的常数）。此时的解为4-77.

把这个解带入4-73，同时换成对能量的积分（多出来一个费米面的DOS)得到4-78.（负号不见的原因在于，势能前面有一个负号)

$Delta=N(0)Vint_{-hbar omega_D}^{hbar omega_D} Deltafrac{mathrm{d}}{2sqrt{Delta^2+xi^2}}\4.78$

所以可以得到4.79，可以得到4.80

利用 $sinh x =frac{e^x - e^{-x}}{2}$

之后得到4-81

$Delta=2 hbar omega_De^{-1/N(0)V }\4.81$

我们之后将会看到。所以可以得到 $e^{-1/N(0)V }=0.88frac{T_0}{Theta_D}$ , 是由定义的德拜温度。

计算出来之后，我们可以计算出动能和势能。

根据4-71与4-72

$sin 2 heta_{old{k}}=2u_old{k}v_old{k}=frac{Delta_old{k}}{epsilon_old{k}} \4.71$

$cos 2 heta_{old{k}}=-u_old{k}^2+v_old{k}^2=-frac{xi_old{k}}{epsilon_old{k}} \4.72$

我们发现：

$u_{old{k}}^2=frac{1}{2}(1+frac{xi_{old{k}}}{varepsilon_{old{k}}})$

$v_{old{k}}^2=frac{1}{2}(1-frac{xi_{old{k}}}{varepsilon_{old{k}}})$

Ketterson: The physics of solids

http://homepages.iitb.ac.in/~kdasgupta/pdf/EP426[Jan2015].pdf

对于费米气体来说，费米面附近是step function。现在u和v在k_F附近被平滑了，宽度是的数量级，The copper-Pippard coherence length。这种smearing的起源来自pairing 相互作用。

公式4.64 $mathinner{langle phi_N|mathcal{H}-E_F N|phi_N}mathinner{ angle }=2sum_{old{k}}xi_{old{k}}v^2_{old{k}}+sum_{old{kl}}V_{old{kl}}u_{old{k}}v_{old{k}}u_{old{l}}v_{old{l}}\4.64$

对于 $2sum_{old{k}}xi_{old{k}}v^2_{old{k}}$ 部分，我们得到： $2sum_{old{k}}xi_{old{k}}v^2_{old{k}}=2sum_{old{k}}xi_{old{k}}frac{1}{2}(1-frac{xi_{old{k}}}{varepsilon_{old{k}}})$