4-3-3 計算能量

By @Charge @胡大師

用標記相互作用電子系統的哈密頓量。有了波函數之後，我們可以使用變分法求 $mathinner{langle phi_N|mathcal{H}|phi_N}mathinner{ angle }$ 的最小值，從而確定。

而使用了之後，粒子數不再固定，要增加約束條件，從而我們要最小化的公式變為：

$mathinner{langle ilde{phi}|mathcal{H}| ilde{phi}}mathinner{ angle }-E_Fmathinner{langle ilde{phi}|N| ilde{phi}}mathinner{ angle } \4.58$

這裡的是粒子的數目，是拉格朗日乘子，也叫費米level。我們可以把哈密頓量重新寫為： $mathcal{H}-E_FN$ 。

動能項為： $mathcal{H}_0=sum_{old{k}alpha}xi_old{k}a_{old{k}alpha}^+a_{old{k}alpha} \ xi_old{k}=frac{hbar^2 old{k}^2}{2m}-E_F\4.59$

勢能項描述了兩個電子的散射：

這一項考慮了電子電子相互作用和動量守恆。

這個哈密頓量中，對計算有影響的部分可以分成三塊來看：

1和2的討論已經在常規的金屬中包括了。這一部分可以包含在 $xi_old{k}$ 中，暫時我們忽略它。

3是產生超導的部分。可以把波函數分成兩部分： $phi_{old{k}1}$ 和 $phi_{old{k}0}$ 分別描述被佔據和未被佔據的一對電子態。

$ilde{phi}=v_{old{k}}phi_{old{k}1}+u_{old{k}}phi_{old{k}0} \4.62$

也即沒有佔據的用u，佔據的用v。

當描述兩對電子和時，把4.62連×得到4-63

$ilde{phi}=(v_{old{k}}phi_{old{k}1}+u_{old{k}}phi_{old{k}0} )(v_{old{l}}phi_{old{l}1}+u_{old{l}}phi_{old{l}0} )\4.63$

4-63一共有四項，只有自旋相反的兩項會保留下來，所以4-64第二項前面的二分之一消失不見。

$mathinner{langle phi_N|mathcal{H}-E_F N|phi_N}mathinner{ angle }=2sum_{old{k}}xi_{old{k}}v^2_{old{k}}+sum_{old{kl}}V_{old{kl}}u_{old{k}}v_{old{k}}u_{old{l}}v_{old{l}}\4.64$

為了完成變分，我們還要使用上一節證明的 $u_{old{k}}^2+v_{old{k}}^2=1$

it is useful to put:

我們定義：

$Delta_{old{k}}=-sum_{old{l}}V_old{kl}u_old{l}v_old{l}=-sum_{old{l}}frac{1}{2}V_old{kl}sin2 heta_{old{l}}\4.68$

這個函數叫做gap function。

也即把4-67右邊重新定義了一下，所以有4-70

$an 2 heta_{old{k}}=-frac{Delta_{old{k}}}{xi_{old{k}}} \4.70$

我們再定義：

$varepsilon_old{k}=sqrt{xi_old{k}^2+Delta_{old{k}}^2}\4.69$

我們將會看到(4-3-4): $varepsilon_old{k}$ is the energy required to add an electron to the system in a state k.

所以有4-71與4-72

$sin 2 heta_{old{k}}=2u_old{k}v_old{k}=frac{Delta_old{k}}{epsilon_old{k}} \4.71$

$cos 2 heta_{old{k}}=-u_old{k}^2+v_old{k}^2=-frac{xi_old{k}}{epsilon_old{k}} \4.72$

4.72中負號的來源是，對於fermi 球的case，也即 $|old{k}|<k_F$ 完全佔據， $|old{k}|>k_F$ 為空的情況，粒子數目可以收斂。

這種情況下，BCS波函數的寫法為：

$|old{k}|<k_F$ 時，u_k=0,v_k=1

$|old{k}|>k_F$ 時，u_k=1,v_k=0

有了4.71和4.72之後，我們可以得到4-73：

$Delta_{old{k}}=-sum_{old{l}}V_old{kl}u_old{l}v_old{l}=-sum_{old{l}}V_old{kl}frac{Delta_old{l}}{2epsilon_old{l}} =sum_{old{l}}V_old{kl}frac{Delta_old{l}}{2sqrt{Delta_old{l}^2+xi_{old{l}}^2}} \4.73$

這個方程擁有一個trival的解， $Delta_{old{k}}=0$ ，解4-74，利用4.71和4.72，我們得到4.75

（解4-74雖然只寫出來了v，但是我們有約束條件）

對應的波函數是4-75。這種情況對應無相互作用的費米氣。

$|old{k}|<k_F$ 時，u_k=0,v_k=1

$|old{k}|>k_F$ 時，u_k=1,v_k=0

這個方程還存在non-trival的解，對於4-76描述的BCS相互作用勢能（V是一個正的常數）。此時的解為4-77.

把這個解帶入4-73，同時換成對能量的積分（多出來一個費米麪的DOS)得到4-78.（負號不見的原因在於，勢能前面有一個負號)

$Delta=N(0)Vint_{-hbar omega_D}^{hbar omega_D} Deltafrac{mathrm{d}}{2sqrt{Delta^2+xi^2}}\4.78$

所以可以得到4.79，可以得到4.80

利用 $sinh x =frac{e^x - e^{-x}}{2}$

之後得到4-81

$Delta=2 hbar omega_De^{-1/N(0)V }\4.81$

我們之後將會看到。所以可以得到 $e^{-1/N(0)V }=0.88frac{T_0}{Theta_D}$ , 是由定義的德拜溫度。

計算出來之後，我們可以計算出動能和勢能。

根據4-71與4-72

$sin 2 heta_{old{k}}=2u_old{k}v_old{k}=frac{Delta_old{k}}{epsilon_old{k}} \4.71$

$cos 2 heta_{old{k}}=-u_old{k}^2+v_old{k}^2=-frac{xi_old{k}}{epsilon_old{k}} \4.72$

我們發現：

$u_{old{k}}^2=frac{1}{2}(1+frac{xi_{old{k}}}{varepsilon_{old{k}}})$

$v_{old{k}}^2=frac{1}{2}(1-frac{xi_{old{k}}}{varepsilon_{old{k}}})$

Ketterson: The physics of solids

http://homepages.iitb.ac.in/~kdasgupta/pdf/EP426[Jan2015].pdf

對於費米氣體來說，費米麪附近是step function。現在u和v在k_F附近被平滑了，寬度是的數量級，The copper-Pippard coherence length。這種smearing的起源來自pairing 相互作用。

公式4.64 $mathinner{langle phi_N|mathcal{H}-E_F N|phi_N}mathinner{ angle }=2sum_{old{k}}xi_{old{k}}v^2_{old{k}}+sum_{old{kl}}V_{old{kl}}u_{old{k}}v_{old{k}}u_{old{l}}v_{old{l}}\4.64$

對於 $2sum_{old{k}}xi_{old{k}}v^2_{old{k}}$ 部分，我們得到： $2sum_{old{k}}xi_{old{k}}v^2_{old{k}}=2sum_{old{k}}xi_{old{k}}frac{1}{2}(1-frac{xi_{old{k}}}{varepsilon_{old{k}}})$