4-3-1選擇實驗波函數

4-1節提到在存在吸引力時候，自由電子氣的正常的基態是不穩定的。這種說法只是啟發性的，他不允許費米麪之上的電子與費米麪之下的電子散射。我們這一節處理凝聚態的細節，將所有電子一樣的對待。

在4-1節中，我們考慮了一對被 psi{(old{r_1-r_2})} 描述的電子。為了把所有的N的電子一樣的對待，很自然的我們考慮

phi_N(old{r_1,r_2,...,r_N})=phi(old{r_1-r_2})phi(old{r_3-r_4})...phi(old{r_{N-1}-r_N})\4.40

在這個被 phi_N 描述的態中，電子完全配對，每一對擁有相同的波函數 phi 。我們可以通過最小化 phi_N 能量的方式獲得波函數的表達式。

三點說明：

a。波函數 phi_N 只能描述偶數個電子，對於奇數的N，最後一個電子必須被區別對待。對於阿伏伽德羅常數數量級的電子氣體，多出來的單個電子帶來的影響對於每個電子來說只是1/N的數量級，因此不是很重要。但是，對於費米子的超流問題，N很小（原子核的數目），N是奇數還是偶數對於激發譜有很強烈的影響。

b。在 phi_N 中，我們沒有考慮自旋。與4-1節類似的，我們讓每一對電子自旋相反。

c。波函數 phi_N 一定是反對稱的，我們用算符 hat{A} 表示。

phi_N(old{r_1,r_2,...,r_N})=hat{A}phi(old{r_1-r_2})phi(old{r_3-r_4})...phi(old{r_{N-1}-r_N})(1uparrow)(2downarrow)...(N-1uparrow)(Ndownarrow)\4.40

算符 hat{A} 的具體表達式可以寫為： hat{A}=sum_P(-1)^P hat{P} ， hat{P} 是置換算符， hat{P}phi(old{r_1-r_2})=phi(old{r_2-r_1}) ，並且要對所有置換求和。所以對於N個電子，會有N!項。N是偶數。

note about 置換算符

置換算符是為了處理粒子不可區分時引入的概念，置換算符 hat{P}_{ij} 交換第i和和第j個粒子，對於2電子體系，我們有 hat{P}_{12}psi(old{r}_1,old{r}_2)=psi(old{r}_2,old{r}_1) ，但是坐標的變化不應對物理可觀測量有影響，所以概率密度是一樣的，也即 |psi(old{r}_1,old{r}_2)|^2=|psi(old{r}_2,old{r}_1)|^2 ，所以置換算符最多改變一個相位，也即 hat{P}_{12}psi(old{r}_1,old{r}_2)=e^{i phi }psi(old{r}_2,old{r}_1) ，再作用一次置換算符，我們有 hat{P}_{12}hat{P}_{12}psi(old{r}_1,old{r}_2)=hat{P}_{12}e^{i phi }psi(old{r}_2,old{r}_1)=e^{2i phi }psi(old{r}_1,old{r}_2) ，所以有 e^{2i phi}=1 ，所以有 phi=0, pi

相位0，也即作用之後波函數符號不變的case叫做symmetric case，對應玻色子。相位是π，作用之後變號的，是antisymmetric case，對於費米子。

4-3-2 代數變換

4-41的形式優點是很簡潔，但是計算困難。

我們對每一對電子的函數引入傅裏葉變換：

phi{(old{r})}=sum_{old{k}}g_{old{k}}e^{iold{k}cdot old{r}}\4.42

所以 phi_N 可以寫為：

phi_N=sum_{old{k_1}}...sum_{old{k_{N/2}}}g_{old{k_1}}...g_{old{k_{N/2}}}e^{iold{k_1}cdot old{(r_1-r_2)}}...hat{A}e^{iold{k_{N/2}}cdot old{(r_{N-1}-r_N)}}(1uparrow)(2downarrow)...(N-1uparrow)(Ndownarrow)\4.43

函數Ae^{iold{k_1}cdot old{(r_1-r_2)}}...e^{iold{k_{N/2}}cdot old{(r_{N-1}-r_N)}}(1uparrow)(2downarrow)...(N-1uparrow)(Ndownarrow) 擁有一個很簡單的解釋。它描述了一個電子處於 old{k_1}uparrow ，第二個電子處於-old{k_1}downarrow ，第三個電子處於 old{k_2}uparrow 的狀態。這就是一個slater行列式，由下面的態構成：

(old{k_1}uparrow)(-old{k_1}downarrow)(old{k_2}uparrow)(-old{k_2}downarrow)...(old{k_{N/2}}uparrow).(-old{k_{N/2}}downarrow)

之後我們使用Jordan–Wigner transformation，把自旋算符用費米子算符表示：

a^+_{old{k_1 uparrow}}a^+_{old{-k_1 downarrow}}...a^+_{old{k_{N/2} uparrow}}a^+_{old{-k_{N/2} downarrow}}phi_0 \4.44

這裡的 psi_0 標記的是真空態，算符 a^+_{old{k}alpha} 作用在真空態時候會創造一個處於 {old{k}alpha} 態的電子。算符 a^+_{old{k}alpha} 的共軛是 a_{old{k}alpha} ，表示湮滅算符，作用在真空態時候等於0 a_{old{k}alpha} phi_0=0 .

如果算符 a^+_{old{k}alpha} 和 a_{old{k}alpha} 滿足下面的反對易關係，4-44滿足slater行列式的一切性質：

a^+_{old{k}alpha}a^+_{old{l}eta}+a^+_{old{l}eta}a^+_{old{k}alpha}=0\ a^+_{old{k}alpha}a_{old{l}eta}+a_{old{l}eta}a^+_{old{k}alpha}=delta_{kl}delta_{alpha eta}\ a_{old{k}alpha}a_{old{l}eta}+a_{old{l}eta}a_{old{k}alpha}=0\4.45

kl表示wave vector，alpha和beta是spin。

所以可以把 phi_N 寫為：

phi_N=sum_{old{k_1}}...sum_{old{k_{N/2}}}g_{old{k_1}}...g_{old{k_{N/2}}}a^+_{old{k_1 uparrow}}a^+_{old{-k_1 downarrow}}...a^+_{old{k_{N/2} uparrow}}a^+_{old{-k_{N/2} downarrow}}phi_0 \4.46

形式仍然太複雜，BCS的三個人發明瞭下面的generating function（波函數）：

ilde{phi}=Cprod_{k}(1+g_{old{k}}a^+_{old{k uparrow}}a^+_{old{-k downarrow}})phi_0 \4.47

C是一個歸一化常數， prod_{k} 對所有平面波態求和。也即：

ilde{phi}=Cprod_{k}(1+g_{old{k}}a^+_{old{k uparrow}}a^+_{old{-k downarrow}})phi_0 =(1+g_{old{k_1}}a^+_{old{k_1 uparrow}}a^+_{old{-k_1 downarrow}})(1+g_{old{k_2}}a^+_{old{k_2 uparrow}}a^+_{old{-k_2 downarrow}})(1+g_{old{k_3}}a^+_{old{k_3 uparrow}}a^+_{old{-k_3 downarrow}})...

你會發現展開式子中，既有包含1個產生算符的項，也有2個的，也有3個的。。。還有N個的。所以這個BCS波函數並沒有定義確定數目的粒子。

比較4-46和4-47，我們可以看出 phi_N 包含在 ilde{phi} 內。我們對 ilde{phi} 做變換，使得C包含在連乘內：

ilde{phi}=prod_{k}(u_k+v_{old{k}}a^+_{old{k_1 uparrow}}a^+_{old{-k_1 downarrow}})phi_0 \4.48

同時有 g_{old{k}}=frac{v_{old{k}}}{u_{old{k}}}, u_{old{k}}^2+v_{old{k}}^2=1 \4.49

==============================================

我們來利用 mathinner{langle ilde{phi}|} mathinner{ ilde{phi} angle }=1 ，證明 u_{old{k}}^2+v_{old{k}}^2=1 .

定義pairing operators：

hat{b_k^+}=hat{a}_{kuparrow}^+hat{a}_{-kuparrow}^+ 以及 hat{b_k}=hat{a}_{-kdownarrow}hat{a}_{kuparrow}

這樣定義的兩個算符滿足對易關係，而不是反對易關係。

hat{b_k}hat{b_{k}^+}-hat{b_{k}^+}hat{b_{k}}=0, for k not equals to k

hat{b_k}hat{b_{k}^+}-hat{b_{k}^+}hat{b_{k}}=1-hat{n}_{kuparrow}-hat{n}_{kdownarrow},

hat{b_k}hat{b_{k}}-hat{b_{k}}hat{b_{k}}=0,

hat{n}_{kuparrow}+hat{n}_{kdownarrow}=2hat{b_{k}^+}hat{b_{k}}

hat{n}_{k} 是粒子數算符。

mathinner{langle ilde{phi}|} mathinner{ ilde{phi} angle }=prod_{k,k}mathinner{langle phi_0|}(1+g_{old{k}}^*a_{-old{k downarrow}}a_{old{k uparrow}}) (1+g_{old{k}}a^+_{old{k uparrow}}a^+_{old{-k downarrow}})mathinner{|phi_0 angle }

mathinner{langle ilde{phi}|} mathinner{ ilde{phi} angle }=prod_{k,k}mathinner{langle phi_0|}(1+g_{old{k}}^*hat{b}_{old{k}})(1+g_{old{k}}hat{b}^+_{old{k }})mathinner{|phi_0 angle }

然後交叉相乘，得到四項，注意g是係數，b是算符。

所以有：

ilde{phi}=prod_{k}frac{ (1+g_{old{k}}b^+_{old{k uparrow}} )phi_0 }{ sqrt{(1+g^*_{old{k}}g_{old{k }})} }

如果定義

u_k=frac{1}{sqrt{1+|g_k|^2}}

v_k=frac{g_k}{sqrt{1+|g_k|^2}}

則：

ilde{phi}=prod_{k} (u_k+v_{old{k}}b^+_{old{k uparrow}} )phi_0

滿足 u_{old{k}}^2+v_{old{k}}^2=1

公式4-47前面的C是否存在，，不影響這個證明。

證明結束。。。。。

Daniel Arovas和Congjun Wu的講義上有一句話：J. R. Schrieffer conceived of this wavefunction during a subway ride in New York City sometime during the winter of 1957. At the time he was a graduate student at the University of Illinois.

==============================================

4-46，和4-48區別在於，4-46精確的描述了有N/2個電子對的精確狀態，但是BCS的波函數是2,4,6，。。N一直到正無窮的疊加，它可以看成是很多個4-46的疊加，所以有

ilde{phi}=sum_N lambda_N phi_N\4.50

並且有歸一化條件， sum_N|lambda_N|^2=1 。對於N很大的情況，不管g是什麼樣子的， lambda_N 的分佈都如圖4-2所示。有一個sharp的最大值。我們可以計算平均的粒子數：

N^*=mathinner{langle hat{N}}mathinner{ angle }=sum_{old{k}}2v_{old{k}}^2=mathinner{langle ilde{phi}|hat{N}|} mathinner{ ilde{phi} angle }=mathinner{langle ilde{phi}|sum_{old{k},sigma}hat{a}_{ksigma}^+hat{a}_{ksigma}|} mathinner{ ilde{phi} angle }=frac{Omega}{(2pi)^3}intmathrm{d} old{k}2v_{old{k}}^2\4.51

Omega 是樣品的體積。

粒子數的mean square fluctuation 或者叫方差為：

overline{delta N^2}=overline{N^2}-overline{N}^2=mathinner{langle ilde{phi}|hat{N}hat{N}| ilde{phi}}mathinner{ angle }-mathinner{langle ilde{phi}|hat{N}| ilde{phi}}mathinner{ angle }^2leqsum_k4 v_{old{k}}^2u_{old{k}}^2=frac{Omega}{(2pi)^3}intmathrm{d} old{k}4 v_{old{k}}^2u_{old{k}}^2\4.52

所以4.52也正比於樣品的體積。

sqrt{overline{delta N^2}} 可以認為是分佈的半高寬。

所以有： frac{sqrt{overline{delta N^2}}}{overline{N}}=frac{1}{sqrt{overline{N}}}

10^22數量級的N，上面商是10^-11量級。所以採用BCS的波函數的計算結果和一開始的幾乎沒有差別。

我們現在研究對於任意的算符 hat{F} ，這兩種波函數選擇對矩陣元帶來的差異：

書上針對 hat{F} 算符是否保持粒子數不變分成兩種情況進行考慮，結論都是

對於宏觀的物體，這兩種波函數帶來的差異可以忽略。但是BCS的波函數計算更加簡單。

Content Created: 2018年11月24日

Last updated：2018年11月27日

歡迎各位批評指正，歡迎留言或者私信。


推薦閱讀：
相關文章