4-3-1选择实验波函数

4-1节提到在存在吸引力时候，自由电子气的正常的基态是不稳定的。这种说法只是启发性的，他不允许费米面之上的电子与费米面之下的电子散射。我们这一节处理凝聚态的细节，将所有电子一样的对待。

在4-1节中，我们考虑了一对被 psi{(old{r_1-r_2})} 描述的电子。为了把所有的N的电子一样的对待，很自然的我们考虑

phi_N(old{r_1,r_2,...,r_N})=phi(old{r_1-r_2})phi(old{r_3-r_4})...phi(old{r_{N-1}-r_N})\4.40

在这个被 phi_N 描述的态中，电子完全配对，每一对拥有相同的波函数 phi 。我们可以通过最小化 phi_N 能量的方式获得波函数的表达式。

三点说明：

a。波函数 phi_N 只能描述偶数个电子，对于奇数的N，最后一个电子必须被区别对待。对于阿伏伽德罗常数数量级的电子气体，多出来的单个电子带来的影响对于每个电子来说只是1/N的数量级，因此不是很重要。但是，对于费米子的超流问题，N很小（原子核的数目），N是奇数还是偶数对于激发谱有很强烈的影响。

b。在 phi_N 中，我们没有考虑自旋。与4-1节类似的，我们让每一对电子自旋相反。

c。波函数 phi_N 一定是反对称的，我们用算符 hat{A} 表示。

phi_N(old{r_1,r_2,...,r_N})=hat{A}phi(old{r_1-r_2})phi(old{r_3-r_4})...phi(old{r_{N-1}-r_N})(1uparrow)(2downarrow)...(N-1uparrow)(Ndownarrow)\4.40

算符 hat{A} 的具体表达式可以写为： hat{A}=sum_P(-1)^P hat{P} ， hat{P} 是置换算符， hat{P}phi(old{r_1-r_2})=phi(old{r_2-r_1}) ，并且要对所有置换求和。所以对于N个电子，会有N!项。N是偶数。

note about 置换算符

置换算符是为了处理粒子不可区分时引入的概念，置换算符 hat{P}_{ij} 交换第i和和第j个粒子，对于2电子体系，我们有 hat{P}_{12}psi(old{r}_1,old{r}_2)=psi(old{r}_2,old{r}_1) ，但是坐标的变化不应对物理可观测量有影响，所以概率密度是一样的，也即 |psi(old{r}_1,old{r}_2)|^2=|psi(old{r}_2,old{r}_1)|^2 ，所以置换算符最多改变一个相位，也即 hat{P}_{12}psi(old{r}_1,old{r}_2)=e^{i phi }psi(old{r}_2,old{r}_1) ，再作用一次置换算符，我们有 hat{P}_{12}hat{P}_{12}psi(old{r}_1,old{r}_2)=hat{P}_{12}e^{i phi }psi(old{r}_2,old{r}_1)=e^{2i phi }psi(old{r}_1,old{r}_2) ，所以有 e^{2i phi}=1 ，所以有 phi=0, pi

相位0，也即作用之后波函数符号不变的case叫做symmetric case，对应玻色子。相位是π，作用之后变号的，是antisymmetric case，对于费米子。

4-3-2 代数变换

4-41的形式优点是很简洁，但是计算困难。

我们对每一对电子的函数引入傅里叶变换：

phi{(old{r})}=sum_{old{k}}g_{old{k}}e^{iold{k}cdot old{r}}\4.42

所以 phi_N 可以写为：

phi_N=sum_{old{k_1}}...sum_{old{k_{N/2}}}g_{old{k_1}}...g_{old{k_{N/2}}}e^{iold{k_1}cdot old{(r_1-r_2)}}...hat{A}e^{iold{k_{N/2}}cdot old{(r_{N-1}-r_N)}}(1uparrow)(2downarrow)...(N-1uparrow)(Ndownarrow)\4.43

函数Ae^{iold{k_1}cdot old{(r_1-r_2)}}...e^{iold{k_{N/2}}cdot old{(r_{N-1}-r_N)}}(1uparrow)(2downarrow)...(N-1uparrow)(Ndownarrow) 拥有一个很简单的解释。它描述了一个电子处于 old{k_1}uparrow ，第二个电子处于-old{k_1}downarrow ，第三个电子处于 old{k_2}uparrow 的状态。这就是一个slater行列式，由下面的态构成：

(old{k_1}uparrow)(-old{k_1}downarrow)(old{k_2}uparrow)(-old{k_2}downarrow)...(old{k_{N/2}}uparrow).(-old{k_{N/2}}downarrow)

之后我们使用Jordan–Wigner transformation，把自旋算符用费米子算符表示：

a^+_{old{k_1 uparrow}}a^+_{old{-k_1 downarrow}}...a^+_{old{k_{N/2} uparrow}}a^+_{old{-k_{N/2} downarrow}}phi_0 \4.44

这里的 psi_0 标记的是真空态，算符 a^+_{old{k}alpha} 作用在真空态时候会创造一个处于 {old{k}alpha} 态的电子。算符 a^+_{old{k}alpha} 的共轭是 a_{old{k}alpha} ，表示湮灭算符，作用在真空态时候等于0 a_{old{k}alpha} phi_0=0 .

如果算符 a^+_{old{k}alpha} 和 a_{old{k}alpha} 满足下面的反对易关系，4-44满足slater行列式的一切性质：

a^+_{old{k}alpha}a^+_{old{l}eta}+a^+_{old{l}eta}a^+_{old{k}alpha}=0\ a^+_{old{k}alpha}a_{old{l}eta}+a_{old{l}eta}a^+_{old{k}alpha}=delta_{kl}delta_{alpha eta}\ a_{old{k}alpha}a_{old{l}eta}+a_{old{l}eta}a_{old{k}alpha}=0\4.45

kl表示wave vector，alpha和beta是spin。

所以可以把 phi_N 写为：

phi_N=sum_{old{k_1}}...sum_{old{k_{N/2}}}g_{old{k_1}}...g_{old{k_{N/2}}}a^+_{old{k_1 uparrow}}a^+_{old{-k_1 downarrow}}...a^+_{old{k_{N/2} uparrow}}a^+_{old{-k_{N/2} downarrow}}phi_0 \4.46

形式仍然太复杂，BCS的三个人发明了下面的generating function（波函数）：

ilde{phi}=Cprod_{k}(1+g_{old{k}}a^+_{old{k uparrow}}a^+_{old{-k downarrow}})phi_0 \4.47

C是一个归一化常数， prod_{k} 对所有平面波态求和。也即：

ilde{phi}=Cprod_{k}(1+g_{old{k}}a^+_{old{k uparrow}}a^+_{old{-k downarrow}})phi_0 =(1+g_{old{k_1}}a^+_{old{k_1 uparrow}}a^+_{old{-k_1 downarrow}})(1+g_{old{k_2}}a^+_{old{k_2 uparrow}}a^+_{old{-k_2 downarrow}})(1+g_{old{k_3}}a^+_{old{k_3 uparrow}}a^+_{old{-k_3 downarrow}})...

你会发现展开式子中，既有包含1个产生算符的项，也有2个的，也有3个的。。。还有N个的。所以这个BCS波函数并没有定义确定数目的粒子。

比较4-46和4-47，我们可以看出 phi_N 包含在 ilde{phi} 内。我们对 ilde{phi} 做变换，使得C包含在连乘内：

ilde{phi}=prod_{k}(u_k+v_{old{k}}a^+_{old{k_1 uparrow}}a^+_{old{-k_1 downarrow}})phi_0 \4.48

同时有 g_{old{k}}=frac{v_{old{k}}}{u_{old{k}}}, u_{old{k}}^2+v_{old{k}}^2=1 \4.49

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我们来利用 mathinner{langle ilde{phi}|} mathinner{ ilde{phi} angle }=1 ，证明 u_{old{k}}^2+v_{old{k}}^2=1 .

定义pairing operators：

hat{b_k^+}=hat{a}_{kuparrow}^+hat{a}_{-kuparrow}^+ 以及 hat{b_k}=hat{a}_{-kdownarrow}hat{a}_{kuparrow}

这样定义的两个算符满足对易关系，而不是反对易关系。

hat{b_k}hat{b_{k}^+}-hat{b_{k}^+}hat{b_{k}}=0, for k not equals to k

hat{b_k}hat{b_{k}^+}-hat{b_{k}^+}hat{b_{k}}=1-hat{n}_{kuparrow}-hat{n}_{kdownarrow},

hat{b_k}hat{b_{k}}-hat{b_{k}}hat{b_{k}}=0,

hat{n}_{kuparrow}+hat{n}_{kdownarrow}=2hat{b_{k}^+}hat{b_{k}}

hat{n}_{k} 是粒子数算符。

mathinner{langle ilde{phi}|} mathinner{ ilde{phi} angle }=prod_{k,k}mathinner{langle phi_0|}(1+g_{old{k}}^*a_{-old{k downarrow}}a_{old{k uparrow}}) (1+g_{old{k}}a^+_{old{k uparrow}}a^+_{old{-k downarrow}})mathinner{|phi_0 angle }

mathinner{langle ilde{phi}|} mathinner{ ilde{phi} angle }=prod_{k,k}mathinner{langle phi_0|}(1+g_{old{k}}^*hat{b}_{old{k}})(1+g_{old{k}}hat{b}^+_{old{k }})mathinner{|phi_0 angle }

然后交叉相乘，得到四项，注意g是系数，b是算符。

所以有：

ilde{phi}=prod_{k}frac{ (1+g_{old{k}}b^+_{old{k uparrow}} )phi_0 }{ sqrt{(1+g^*_{old{k}}g_{old{k }})} }

如果定义

u_k=frac{1}{sqrt{1+|g_k|^2}}

v_k=frac{g_k}{sqrt{1+|g_k|^2}}

则：

ilde{phi}=prod_{k} (u_k+v_{old{k}}b^+_{old{k uparrow}} )phi_0

满足 u_{old{k}}^2+v_{old{k}}^2=1

公式4-47前面的C是否存在，，不影响这个证明。

证明结束。。。。。

Daniel Arovas和Congjun Wu的讲义上有一句话：J. R. Schrieffer conceived of this wavefunction during a subway ride in New York City sometime during the winter of 1957. At the time he was a graduate student at the University of Illinois.

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4-46，和4-48区别在于，4-46精确的描述了有N/2个电子对的精确状态，但是BCS的波函数是2,4,6，。。N一直到正无穷的叠加，它可以看成是很多个4-46的叠加，所以有

ilde{phi}=sum_N lambda_N phi_N\4.50

并且有归一化条件， sum_N|lambda_N|^2=1 。对于N很大的情况，不管g是什么样子的， lambda_N 的分布都如图4-2所示。有一个sharp的最大值。我们可以计算平均的粒子数：

N^*=mathinner{langle hat{N}}mathinner{ angle }=sum_{old{k}}2v_{old{k}}^2=mathinner{langle ilde{phi}|hat{N}|} mathinner{ ilde{phi} angle }=mathinner{langle ilde{phi}|sum_{old{k},sigma}hat{a}_{ksigma}^+hat{a}_{ksigma}|} mathinner{ ilde{phi} angle }=frac{Omega}{(2pi)^3}intmathrm{d} old{k}2v_{old{k}}^2\4.51

Omega 是样品的体积。

粒子数的mean square fluctuation 或者叫方差为：

overline{delta N^2}=overline{N^2}-overline{N}^2=mathinner{langle ilde{phi}|hat{N}hat{N}| ilde{phi}}mathinner{ angle }-mathinner{langle ilde{phi}|hat{N}| ilde{phi}}mathinner{ angle }^2leqsum_k4 v_{old{k}}^2u_{old{k}}^2=frac{Omega}{(2pi)^3}intmathrm{d} old{k}4 v_{old{k}}^2u_{old{k}}^2\4.52

所以4.52也正比于样品的体积。

sqrt{overline{delta N^2}} 可以认为是分布的半高宽。

所以有： frac{sqrt{overline{delta N^2}}}{overline{N}}=frac{1}{sqrt{overline{N}}}

10^22数量级的N，上面商是10^-11量级。所以采用BCS的波函数的计算结果和一开始的几乎没有差别。

我们现在研究对于任意的算符 hat{F} ，这两种波函数选择对矩阵元带来的差异：

书上针对 hat{F} 算符是否保持粒子数不变分成两种情况进行考虑，结论都是

对于宏观的物体，这两种波函数带来的差异可以忽略。但是BCS的波函数计算更加简单。

Content Created: 2018年11月24日

Last updated：2018年11月27日

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