4-3-5 两个超导体的情况
这一节提到的内容，拿了1973年的一半诺贝尔物理学奖。
有一半："for their experimental discoveries regarding tunneling phenomena in semiconductors and superconductors, respectively"，另一半"for his theoretical predictions of the properties of a supercurrent through a tunnel barrier, in particular those phenomena which are generally known as theJosephson effect"
（来自wiki）
1962年，Josephson 预言两个超导体S和S』被绝缘层隔开时（绝缘层足够的薄，厚度小于30A），库伯对可以在这个junction中移动，从而产生supercurrent。
我们这一节就来描述这样的系统：
有一种等价的推导公式4.108的方法，可能更加严格。
follow：
http://www.phys.shimane-u.ac.jp/mutou_lab/zakki/super/appendix/BCS_Josephson.pdf考虑两个超导体用绝缘薄膜隔开，右边的记作R，左边的记作L。假设电子在左右tuneling的过程中，spin不变。
当上面的哈密顿量 作用在右边时候，有一个电子对被破坏，其中一个电子从R移动到L。此时被破坏的态不再是基态。
再作用一次，就有一对电子从R移动到L。所以可以把
当做微扰，用微扰理论来看待。
从R到L的电流正比於单位时间内电子数的移动，电子数目算符为：
所以从R到L的电流为：
粒子数算符随时间的演化可以用它和系统哈密顿量的对易关系表示。系统的哈密顿量为：
海森堡表象下，算符的演化为：
所以粒子数算符对时间的微分为：
粒子数算符与 是可以交换的，所以有：
公式9就直接展开，发现刚好抵消两项。
把9带入7，再带入4得到：
我们接下来计算公式10中的T和T dagger对基态随时间的演化。
两个超导体并在一起的基态可以用direct product表示，
他的alpha和beta就是上一节中的gamma dagger和gamma。就是上一节中发明的解决了正交问题之后的描述基态的算符。
对于基态有：
当考虑上面的微扰之后，假设基态可以表示为：
一阶修正为：
考虑二阶微扰，公式10变为：
现在回到公式1，用产生湮灭算符表示出公式20，
我们可以把上面的公式用Bogoliubov quasiparticle算符表示，此时原本的超导态在这个表示下变成了真空态。比如有
同时，利用哈密顿量 在Bogoliubov表象下是正交的，我们有：
所以公式22变为：
利用Bogoliubov 算符的反交换性质，第5项和第8项是0。还利用：
31变为：
利用：
33告诉我们，对于两个超导体L和R，如果energy gap的相位有差别，即便电压是0，也会有电流移动，这个效应叫做DC Josephson effect。
得到课本4-110
这个系统的哈密顿量可以写为：
可以写为
，分别是两个超导体的哈密顿量。
在S侧创造一个处于态k的电子，
在S』侧消灭一个处在态l上的电子。
的本征态是4-43的乘积。
一个与S有关，一个与S有关。
也即书上的4-103.
描述了
个电子在S侧couples in pairs。
个电子在S』侧。电子的总数2N是确定， 但是
是事先不知道的。我们来看看
和v有什么关系。
热力学告诉我们：
是化学势。2的来源是这是一对电子。
我们目前假设S和S』之间没有电压。所以两侧的化学势相等，有 ，并且
是简并的？？？？？？？？
我们还可以从另一个角度计算电流。
http://publications.rwth-aachen.de/record/684349/files/684349.pdf?subformat=pdfa
图大概是这个样子。。
这个thesis把课本4-110与4-111讲的很清楚。
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