這一節提到的內容，拿了1973年的一半諾貝爾物理學獎。

有一半："for their experimental discoveries regarding tunneling phenomena in semiconductors and superconductors, respectively"，另一半"for his theoretical predictions of the properties of a supercurrent through a tunnel barrier, in particular those phenomena which are generally known as theJosephson effect"

（來自wiki）

1962年，Josephson 預言兩個超導體S和S』被絕緣層隔開時（絕緣層足夠的薄，厚度小於30A），庫伯對可以在這個junction中移動，從而產生supercurrent。

我們這一節就來描述這樣的系統：

有一種等價的推導公式4.108的方法，可能更加嚴格。

follow：

http://www.phys.shimane-u.ac.jp/mutou_lab/zakki/super/appendix/BCS_Josephson.pdf?

www.phys.shimane-u.ac.jp

考慮兩個超導體用絕緣薄膜隔開，右邊的記作R，左邊的記作L。假設電子在左右tuneling的過程中，spin不變。

當上面的哈密頓量 作用在右邊時候，有一個電子對被破壞，其中一個電子從R移動到L。此時被破壞的態不再是基態。 再作用一次，就有一對電子從R移動到L。所以可以把 當做微擾，用微擾理論來看待。

從R到L的電流正比於單位時間內電子數的移動，電子數目算符為：

所以從R到L的電流為：

粒子數算符隨時間的演化可以用它和系統哈密頓量的對易關係表示。系統的哈密頓量為：

海森堡表象下，算符的演化為：

所以粒子數算符對時間的微分為：

粒子數算符與 是可以交換的，所以有：

公式9就直接展開，發現剛好抵消兩項。

把9帶入7，再帶入4得到：

我們接下來計算公式10中的T和T dagger對基態隨時間的演化。

兩個超導體並在一起的基態可以用direct product表示，

他的alpha和beta就是上一節中的gamma dagger和gamma。就是上一節中發明的解決了正交問題之後的描述基態的算符。

對於基態有：

當考慮上面的微擾之後，假設基態可以表示為：

一階修正為：

考慮二階微擾，公式10變為：

現在回到公式1，用產生湮滅算符表示出公式20，

我們可以把上面的公式用Bogoliubov quasiparticle算符表示，此時原本的超導態在這個表示下變成了真空態。比如有

同時，利用哈密頓量 在Bogoliubov表象下是正交的，我們有：

所以公式22變為：

利用Bogoliubov 算符的反交換性質，第5項和第8項是0。還利用：

31變為：

利用：

33告訴我們，對於兩個超導體L和R，如果energy gap的相位有差別，即便電壓是0，也會有電流移動，這個效應叫做DC Josephson effect。

得到課本4-110

這個系統的哈密頓量可以寫為：

可以寫為 ，分別是兩個超導體的哈密頓量。 在S側創造一個處於態k的電子， 在S』側消滅一個處在態l上的電子。

的本徵態是4-43的乘積。

一個與S有關，一個與S有關。

也即書上的4-103.

描述了 個電子在S側couples in pairs。 個電子在S』側。電子的總數2N是確定， 但是 是事先不知道的。我們來看看 和v有什麼關係。

熱力學告訴我們：

是化學勢。2的來源是這是一對電子。

我們目前假設S和S』之間沒有電壓。所以兩側的化學勢相等，有 ，並且 是簡併的？？？？？？？？

我們還可以從另一個角度計算電流。

http://publications.rwth-aachen.de/record/684349/files/684349.pdf?subformat=pdfa?

publications.rwth-aachen.de

圖大概是這個樣子。。

這個thesis把課本4-110與4-111講的很清楚。

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