題主你好。這兩定律你只能證明一個，另一個要作為公理使用。原因很簡單，萬有引力定律是開普勒定律的本質，而開普勒定律是萬有引力定律的自然結果。二者不能同時被證明，只能由一個推導出另一個。從歷史上看，開普勒定律是從第谷的觀測數據里總結出來的，所以開普勒定律是一個經驗規律。而牛頓的萬有引力定律則是牛頓根據向心力公式和橢圓軌道的幾何性質，結合開普勒定律自然推出來的。具體推導過程，牛頓在他的書里寫的很清楚，有時間題主去看看《自然哲學的數學原理》。但是牛頓沒有用現代意義上的微積分來證明他的結果，而是用幾何學的辦法。證明過程十分複雜。

下面我們來討論，如何用微積分從開普勒定律里推導出牛頓的萬有引力定律。這個工作說簡單其實十分簡單，說難又很難。題主如果學過大學物理，那麼這個問題就很簡單；如果沒有，那這個問題就很難。小編在這裡說一下思路。

先證明開普勒第二定律等價於角動量守恆。證明很簡單，這裡略掉。接著證明角動量守恆的勢能是保守勢能，這一點力學書里有介紹，不去贅述。因此，由此可以把天體間的引力寫成是徑向距離、方向角的函數F(r,φ)，方向沿著矢徑方向。接下來建立坐標系，坐標系x軸平行橢圓的長軸，y軸平行於短軸。將坐標原點選在中心天體的質心上。然後把引力分解成x方向和y方向的分量，分別使用牛頓第二定律（這裡就引入了二階微分方程），再利用角動量守恆，將方向角的導數項全部消去。這樣就能得到引力大小關於徑向距離的微分方程。對比方程左右兩邊，便可以確定F(r,φ)。此外可以發現，這裡面有兩個未知數，但是它們卻是以比值的形式出現在F(r,φ)里，從普適性角度看，應該只有一個理論無法確定的比例常數——牛頓引力常數。具體計算，請題主自己完成。裡面除了求導數沒有別的計算。最後的答案就是F(r,φ)=C/r^2。

從今天來看，牛頓的證明方法過於複雜，藉助力學的一般理論，可以很簡單的得出萬有引力定律。但是要注意一點，萬有引力定律不是定理，上面的推導僅僅是證明了萬有引力定律和開普勒定律的等價性，所以從邏輯學的角度看，必須要選擇一個作為公理使用，另一個作為定理。從簡單性、普適性的角度出發，將牛頓萬有引力定律作為公理，而開普勒定律作為定理。但是要注意，物理是兩重標準的，僅僅邏輯自洽是不夠的，還需要實驗證明。實驗最早證明的是開普勒定律，所以它是定律，後來萬有引力定律也被證明了，因此它也是定律。

"萬有引力定理"提法不正確,應該是"萬有引力定律",物理定律是不能被數學方式證明的,是物理的基本"猜想". "開普勒行星定律"提法又錯了,應該是"開普勒行星定理",這是可以用萬有引力定律和微積分方法推演出來的.