數學研究沒有進展怎麼辦？

最近數學研究沒有任何進展，換了好幾個問題都沒有新的突破，已經迷茫了好幾個月，對於這樣的狀態怎樣可以重新找到方向，不再迷茫下去？大家有什麼好的建議？

想要有進展的關鍵是知道很多問題。你看很多大數學家都很瀟灑，今天研究這個，明天研究那個，其實並不是因為他們研究的成功率比你高很多，而是因為他們知道的問題是你的數十倍，甚至數百倍。在相同的成功率下，他們能做的東西當然比你多得多。

大多數研究生都沒有自己的問題，只能靠導師給問題。假設你導師給了你兩個問題，而以你的能力研究的成功率是10%（這個成功率當然也取決於問題是不是靠譜），那麼在理想情況下（假設獨立事件），你順利畢業的可能性只有19%。

現在假如你努力去學習其他方面的數學，儘可能多地瞭解和你所研究的領域有關的學問，瞭解別人關心哪些問題，並且自己能夠提出新的有趣的問題，那麼很快你手頭的問題數將膨脹到20個以上，而你順利畢業的可能性也會增至88%。

那些牛逼的數學家腦子裡有成百上千個問題，不停地想，總能找到一個可做的，所以不出意外的話他們總是有paper可寫。

那種拿著一個問題，拚命硬做的人是沒有出路的。假如你導師給你的問題是Hodge猜想，難道你也要去碰個頭破血流嗎？一代人有一代人的技術侷限，我們要做的是盡量延伸我們能研究的問題的邊界，而不是一下子跳到無窮遠的地方去。即使是Wiles，他要實現自己10歲時的夢想也等了23年，在Ribet的工作之後才確信有希望證明費馬大定理。

當然，那種兩個月就能做出來的便宜問題也是不值得寫成論文的。我導師經常告誡我不要做小問題，而我的節奏也就是保證每年寫出一篇新文章。想要找到很多既在當前能夠被解決，又不至於trivial的問題，就更需要你時刻關心你的同行在做什麼，甚至別的領域的人在做什麼，你看過的paper跟你關心的問題有什麼聯繫，過去學過的東西能不能用到新問題上等等。如果你對自己領域的學問體系都不清楚，那說明你根本就沒有勤于思考，還是在數學上下的功夫不夠。

一般來說，應該先去了解整個領域的體系，哪些人大體上做了什麼工作，這些工作大致是用什麼方法，什麼工具做的。對這些如數家珍之後，你就能自己提出問題，找出解決問題需要的技術，然後再去仔細閱讀那些已經有大致印象的相關論文，學習這些技術，這樣就能通過推廣或借鑒的方式用到自己需要的情形。

現在許多人的問題是對數學很陌生，甚至對自己所在的領域都很陌生，連第一步都沒有做到，卻在抱怨做不出問題。

謝邀，老實講，在數學研究方面我的經驗也不算太豐富，只能把我自己這方面的幾次經驗分享一下了。我被卡問題卡過3-4次。最長的大概有一年，有一次還無疾而終，我把幾次最後算是突破然後成功寫成論文發表的情況總結一下：

第一，如果一個問題沒思路，那麼最好找它一個baby model或者這個問題的某個你比較熟悉，但是不算複雜的例子。你先看看這些小問題你能做出什麼結果，看看它們能不能給你思路。記住，這個模型必須足夠簡單，但是不能平凡。簡單你才能處理，或者起碼現有工具纔有可能處理，不平凡才能保留原問題的本質上的困難。而且研究此類簡單問題能讓你知道什麼路是行不通的，任何數學思路都有自己的軟肋，重點在於你得意識到這點。

第二，處理那些baby model的時候你要敢於學習和利用新工具，一般能卡住你的問題的一大根源是你不瞭解某個工具，而且不只是你，其他人大概也沒做過類似的遷移，這就需要你去猜測哪個東西也許能解決你的問題。然後你得學習這個新工具，然後嘗試去遷移和融合。

第三，找出那些可能方法的來源有兩個，首先你對問題本身有充分的理解，然後你需要搜索或者問人去過濾大量的現有方法。找的時候把相關的論文大量的蒐集，看那些比較有可能。然後用新思路回去研究原來的模型和問題，看看能不能獲得一些進展。

第四，如果某個簡單情況你能處理了，你需要進一步推廣，這個時候你可以嘗試複雜一點的模型。然後你可以重複第一步到第三步。

謝邀。

我不是來答題的，只是寫寫自己的感想。我很理解題主的想法，我也是卡了很久了。

15年我過了oral exam（賓大的qualify），選了導師以後，他當時就跟我介紹了6維正曲率流形的問題。不過當時我還看不太懂，沒有仔細想。後來陸續考慮過SO（4）以及一般齊次流形上非負曲率度量的分類、正曲率齊次Finsler流形的分類，也沒什麼想法，基本就一直在非負（正）曲率這個圈圈裡打轉。Finsler那個問題我還和一個德國交換生討論過一學期，他本以為自己做出了一點東西，能排除掉一個情形，後來他要走的時候發現他的證明是有本質錯誤的——所以相當於白忙活了一個學期。

其實6維正曲率這個問題是我唯一真正有點新想法，也做出了一點東西的，所以我不想放棄他，因為我無法預知自己做其他問題的結果會是怎樣。不過也是我自己太單純，我開始做正曲率的時候只是覺得這個問題很好玩，沒有去了解這個領域的現狀如何。事實是，正曲率的大部分漂亮工作，無論是新例子還是分類結果，基本都集中在1990-2010年這個時間段，201x年基本都沒什麼人做了；像方老師、戎老師，還有Wilking等等，都去做別的問題了。我老闆在13年帶過一個巴西學生，他做的問題基本和我差不多，只不過他做的是5維的。我去mathscinet上查他的publication，只有一篇thesis，然後引用量為0——真的就是大家不怎麼關心這個領域的「小問題」，做出來別人也不看的。。

所以前段時間我會考慮Sasaki-Einstein的相關問題，因為還是想做做「看起來主流一點」的微分幾何。當然我的判斷也不行，我不知道什麼是好的數學，但是我知道什麼是大家都關心的數學。你去微分幾何的會議看看，能看到做正（非負）曲率的speaker麼？沒有吧，或者很少吧。但是做mean curvature flow的，做minimal surface的，做Kahler-Einstein相關的各種方程的，做Ricci soliton的，等等，那基本就是他們的主場啊。微分幾何界現在還是幾何分析的天下。。

從前對科研並沒有什麼理解，覺得就是找個能做的問題做出來。一個偶然的機會看到了嶽澄波老師的一篇論文，上面有一段話對我影響很大。

這段話大意是說：本文來源於作者在讀Goldman和Millson的一篇論文時遇到的疑惑，所以打算自己給出一個更容易理解的證明。最終發展出了本文中的新的研究方法

自己的理解是科研的目標是形成一個自己特有的理解數學和研究數學的方式，並且能用這個方式做出一些其他人也感興趣的結果。所以對已有的結果做深入的思考，用自己的方式去理解別人的結果，對於未來的研究生涯是很有益處的。

至於長時間沒有突破，這是很正常的。引用我的博士後導師Lindenstrauss的一句話：數學家的生活就是花幾個月的時間痛苦的思考一個問題，然後在解決了這個問題之後高興一兩天。

我覺得沒有想法的時候，出去走走，開個會，訪問一下做你這個領域問題的教授啊是很有好處的。

我們今年一月在做一個問題，最開始的想法在一些比較簡單的例子上是work的，比如projective line... 而且在這個情形下，很多構造都work, 而且完全是用比較有意思的線性代數，但是一到了P^2的case，naive的線性代數的看上去就好像不work了。研究進展停滯了兩個星期。。。我當時的一個想法就是用Bridgeland stability condition, 這玩意我之前雖然念過，但是P^2上的是2011年另外四個人合作的文章，我覺得有些技術細節挺難看懂的，於是我就想著去某個作者所在的學校去問相關的問題。而我當時正好做了這個作者他們關心的另一個問題，把部分的進展發過去了，他挺感興趣的，我就順勢提出能不能去訪問一個星期，他就答應了，而且給了support. 去了以後，雖然他對我問的一些特別細節的問題不是很瞭解，但是還是給了很好的建議。而且當時他們系另外一個搞Bridgeland stability condition的博後也在，我就去問他，他馬上就給我指出了一篇很有可能跟我做的問題有關的文章，而且還提到了李純毅和趙小磊的幾篇文章，我仔細瞧了一下，發現確實很有幫助，我覺得幾乎就是要用李文中的一個構造。不僅如此，我訪問的這個老師還給了一個他聲稱【兩個月可以做出來的問題】，他說:"I am too old to solve this problem" 。我覺得，這個又是一個可以做的問題，用到的技術也不難。

反正我覺得手裡可以有多個問題，一個是相對來說要學比較多的東西的問題，比較難的問題，這個不急，慢慢來，把要用的工具技術文章琢磨明白，再一邊做一邊看，不要給自己設置什麼時間限制，什麼幾個月做出來，或者什麼暑假做出來，有個大概的安排計劃，時刻提醒自己這個問題是主要要做的。然後同時做其他幾個小問題，說白了，就是相對來說，灌水色彩多一些的題目。我現在就在做一個灌水色彩相對多一些的小問題，已經做出來一些結果，剩下的就是推廣到很多曲面上，基本上就是照著例子一個個算。。要用一些代數拓撲的simplicial decomposition的非常組合的計算，Weyl group作用啥的，反正就是搬磚，數學民工的活計。。。

做一陣民工，無聊了，就再做主要的問題，看paper，累了，腦子不轉了，再做民工的活計。。反正不怕自己閑著。

希望對你有用。。。不過看你是博士後了，應該比我們有經驗。。班門弄斧了

我感覺之前有長達2-3年時間沒有進展，也這樣熬過來了。我跟我同學講我做的東西，他們會很狐疑的看著，為什麼要做這些東西，除了我的老師，也沒有什麼人支持我。我自己也覺得有時候走火入魔，看著書每一行都懂，合上書卻啥都不知道。

後來慢慢從最簡單的東西開始想，做出點東西，問專家，專家說trivial，為啥要做這麼簡單的東西。但慢慢的增加認識，瞭解更多方面以後，用完全不同的視角講出一個故事，講一個你自己的故事。專家也開始認可這些的意義，尤其是找到了具體的應用以後。

之前我有個問題一直搞不清楚，具體就是要把兩個完全不同的數學分支要聯繫起來，我有些想法，但是一直沒能有突破，我就放在那裡, just like a child I loved, but left on the road. 幾年以後重新pick up起來，用不同的視角，找到了突破口，最近才開始寫。其實最困難的是快要突破的時候，我會非常地焦慮，我就會整個學校轉悠，直到完全想通。

現在我手頭上會有好幾個問題，有時候換換腦子，真的很有幫助，沒有方向的鑽牛角尖的無用功。

請玩一款叫做風暴英雄的遊戲，畫面明快，模型精美，快速模式放鬆心情，英雄聯賽修身養性。可以和數學一起平行修鍊，人生兩大事業，豈不快哉？