你需要保證你的「能力」足以讓你勝任必須的髒話，必要的計算能力就是其中的一環。

比如，你有一個自我感覺不錯的intuition（直覺），那麼你往往需要拿例子算一算，如果你功力足夠，短期就能排除或者「佐證」你的直覺，那麼你就能快速決定是繼續推進還是轉換思考方向。如果你把自己卡在了計算這一環節等於處處掣肘，當然了，如果你有本事找個人替你算，算你牛逼。不過，大部分人一開始的活就是被「叫」的那個。

你想做什麼就做什麼，enjoy your life. 不同的人有不同的style，你只需要找到比較符合你的taste的東西。

不過至少對於某些方向，很多東西是離不開具體計算和dirty work的，你不喜歡就換個小領域吧。

舉例來說，不知道有多少人看過大師Richard Talyor的1988年的博士論文On congruences between modular forms （至少它的introduction，因為大部分時候用不著的話，不必一步步follow計算）。

第一章A Group Cohomological Lemma可以拆成本科生習題，算是比較抽象的基礎練習，符號比較多而已。這可以看成是理論的建立。Theorem 1.1是經典模形式上的應用，完全可以講給本科生聽。

第二章就用第一章的東西證了ordinary Siegel forms for given arithmetic groups with fixed level is bounded independently of the weights (prop 2.1，at least for k varying in some infinite families，參考modular form的baby case thm 1.1)，然後由此得到congruence of modular forms of different weights（thm 2.1，還是乘theta series，構造見Lem 2.3），再應用到Galois表示的構造。

而之後兩章他就在做非常具體的兩個情況，主要工作是把Hida的一些結論（Hida family的存在性）做到Siegel Modular Form（主要是g=2）和modular form over imaginary quad field上，用他導師的方法（Eisenstein series造family是最常見的了），但注意前者是當時少見的高維情況，而後者沒有Shimura variety（其實前者對於low weight也不一定能找到，但我們用同餘到high weight的方法能繞過）！！

所以第四章處理imaginary quad field，他就在cohomology of arithmetic groups裏直接工作（見section 4.2，that is why cohomology of arithmetic groups is good！），inflation-restriction能改變level，用第一章的group cohomology方法聯繫different weights （prop 4.5）。後面還仔細研究了cohomology of the boundary of the Borel-Serre compactification (with Hecke action)。

最後還能得到certain arithmetic hyperbolic 3-manifolds的H^1 of certain sheaves裏的torsion的存在性,，也就是thm 4.2。一個例子是考慮SL_2(Z[i])的表示V=Sym^{n_1}張量complex conj of Sym^{n_2}，如果n_1≠n_2，那麼存在SL_2(Z[i])的一個同餘子羣G，使得H_1(G, V)有non-trivial torsion。

by pure thought好像最大的idea和theory building就是第一章，後面好像是隨便推廣一下前人的工作。但是這並不是你想像得那麼簡單，GL_2到GSp_4就要算一堆東西，你可以看到一堆矩陣，一堆線性代數lemma，特別是第三章和第四章，非常複雜，既有抽象的精細提升定理和交換代數（e.g prop 3.1），又有具體的寫矩陣構造元素算operators(e.g lem 2.4)，確定group cohomology裏的group。

他自己也說「the case of Siegel modular forms the calculations required for this method become very messy」，而且符號很多很複雜，但人家照做不誤，寫下來一百多頁。這需要學習一些技巧性很強的方法，你是看不到太多動機的（動機都在經典模形式情況講的清清楚楚，你現在要推廣），這時候當然沒有mathematica來幫你kill everything。而理論的關鍵已經提前鋪好，你只需要發明一個簡潔有力的idea，然後做大量具體的exercises，有一個大體框架，修修改改，最後完成一篇一百頁的PHD論文，這可能是做某些方向的常態。只不過如果你知道了怎麼做，可以用電腦編程計算代替一部分重複的勞動，算出一些例子來給自己用。

說了這麼多，大師的PHD論文尚且如此，就不必期待自己選擇相關的東西做的時候會有多easy and conceptual了，這不是單純build a theory能解決的事。

但我的意思絕非build a theory不重要，不有用，如果能conceptually解決的事情，那自然conceptually理解最合適，發展理論和做具體問題可能同樣重要，這取決於你具體關心什麼。回到開頭，不同的人有不同的style，你只需要找到比較符合你的taste的東西。

註：Taylor論文第一章的idea和後面構造Galois表示的方法，其實幾十年後independently在另一篇文章裏也出現了，並且更為漂亮，參考Remark 7.4. in

P. Scholze 「On the p-adic cohomology of the Lubin-Tate tower」, Ann. Sci. école Norm. Sup. (4) 51 (2018), no. 4, p. 811–863.

推薦一下菲爾茲獎得主 Timothy Gowers 關於這個問題的探討，很有意思。

看來題主也邀請了我。作為本科生，我在某種程度上和題主很相似甚至更加傾向。對於我來說，我享受跟著書本完成一個經典定理的證明的過程，而很少對書本後面的具體例題感興趣。從這個角度來說我的確偏向宇航所說的theory builder而非problem solver。從另一個角度說，我更喜歡本科的代數課多於分析，因為代數總是能給出嚴謹的構造和精巧的證明；能把一個看似初等的難題通過定義複雜的結構轉化成一個平凡的結論。

這種傾向從我高中學物理的時候就有了。我還記得高一學習物理競賽最興奮的幾個瞬間，一是用矢量分析的各種identity推導電場能量 （書上只證了電容器的特例），二是用線性常微分方程理論求解諧振方程 （書上說代入 發現是解），三是證明Euler-Lagrange方程和Newton第二定律的等價性。比起做關於斜面和滑輪具體的物理問題，利用數學符號進行抽象的邏輯推理更吸引我。雖然當時沒有意識到，但是這成為了我後來從物理轉向數學的契機。

學習數學就是一個打怪升級的RPG遊戲。在進入副本之前我們會先畫好科技樹（或者副本地圖...?），然後沿著自己規劃好的方向，享受不斷打怪升級的過程，享受旅途中不斷變換的風景。想像這樣一個情形：剛剛完成高中數學的你得到了一本《高等代數》，隨即進入了一個繚亂紛繁的新世界；在這個世界大飽眼福之後，你在書的附錄看到了羣環域的構造，可能只是簡單的定義而已，似乎不甚稀奇；但是為此你開始看《抽象代數》，這是一本很薄的國內教材，在Galois理論的精巧構造後，突兀地出現了一個短章節關於模和自由模的定義，你感覺它似乎不屬於這本書作者希望討論的範圍，但是它卻把你引向交換代數和同調代數；在另一本更厚的《抽象代數》中，關於模的性質和構造是那麼地豐富：張量積，對偶，內射模，投射模.......然後你被告知幾乎一切在 中的操作都可以被搬到Abel範疇上......（以我貧瘠的語言很難描述這種驚奇和喜悅感QAQ）總之，像我這樣的「輕度」RPG玩家，喜歡把精力放在享受劇情和關卡的設計上，而不是反覆刷低級副本提升熟練度，或者計算著如何用最少的時間或者最小的損失通過某個特定副本。作為數學這個「RPG遊戲」的「輕度玩家」，我不知道自己未來會不會轉化成一個「硬核玩家」，或者說我是否能適應數學科研也是未知的。

另外，我的審美還有一個特殊的地方，就是我想成為一個textbook editor。對於我來說，數學理論的美既是內在的，也是外在的，其外在性就體現在使用TeX去書寫數學公式和編纂教材上。我認為用TeX寫成的東西本身就是極佳的審美對象。另外，在閱讀了諸多教材之後，我總是希望能用自己的理解方式去把同樣的東西整理成冊，這一方面是鞏固學習的方法，另一方面也是我自己使體會到的數學內在美外在化的一種形式。題主也是喜歡寫數學筆記的人，想必也有相似的感覺？