前兩天和一位高中姑娘聊天

「你知道普朗克常量是多少麼？」

「不知道」「你猜」「3點兒多？高中哪用得著這個？」

「你知道單位是什麼嗎？」

「更不知道了啊??」遂終。

然而事實是，不重視物理學的基本常量，對它們沒概念，從高中開始就會有問題的：瞭解度量衡和單位制、基本常量是高考物理要求的知識點之一。

例如此題目，2012北京高考理綜20，即可用單位制或量綱直接求解。

答案：B

在科學中，最重要的無理數有兩個：π 和 e. π≈3.14159，e≈2.71828.這兩個大家很熟悉不必說。

在科學中，類似的常量（constant）還有很多，我們挑選幾個有重大意義的，結合高中知識，介紹給大家。

一、光速c

最應該先介紹的，是(真空中)光速c. 光速c是連接質量和能量的橋樑，是相對論的基石之一。它有很多看上去難以理解的性質：比如任何速度都不能超過光速，光速不隨參考系改變等。

2011年9月22日，義大利物理學家在OPERA實驗中發現了一種超出光速40322.58分之一的中微子，如果實驗數據確鑿無誤，愛因斯坦的相對論將會受到挑戰。但是隨後便發現，該實驗結果為設備線路接錯而造成。該實驗結果於2012年6月8日被該小組宣佈撤銷。根據愛因斯坦的相對論，沒有任何物體或信息運動的速度可以超過真空中的光速。

光速的測量歷經了一個世紀，方法眾多，我們現在認為，真空中光速

二、普朗克常量h 約化普朗克常量?

第二個就是普朗克(plank)常量h，以及它的弟弟約化普朗克常量?=h / 2π.

不同於光速的不懈測量，普朗克常量則是憑著普朗克的創造性智慧發現的。

h是聯繫微觀粒子波粒二象性的橋樑，也是不確定性關係中的關鍵常量。微觀粒子的行為是以波動性為主要特徵還是以粒子性為主要特徵，是以普朗克常數h為基準來判定的。

以上兩式將微觀粒子的波動性與粒子性聯繫了起來，能量E與動量p是典型的描述粒子行為的物理量，頻率ν與波長λ是典型的描述波動行為的物理量。將描述粒子行為的物理量與描述波動行為的物理量用同一個公式相聯繫，這正寓意了波粒二象性，而將二者聯繫起來的恰恰是普朗克常數h.根據上述公式可以瞭解能量為E、動量為p的粒子的頻率與波長，結合相應的物理過程自然可以判斷是粒子性呈主要特徵還是波動性呈主要特徵。

不確定度原理是普朗克常量的另外一個表徵，是量子力學的一條基本原理。動量與坐標(能量與時間)的乘積均具有h量綱，所以這兩對量不能同時具有確定值。量子力學的理論可以證明，凡是乘積具有h量綱的成對物理量都不能以任意高的精確度同時確定。由此還衍生出德布羅意波長等物理量。

我們現在，普朗克常量和約化普朗克常量為

數值很小，但不等於零，如果嚴格等於零，宇宙將在十億分之一秒內全部變成電磁輻射。

三、靜電力常數k 真空介電常數ε0

靜電力常數最經典地出現在我們熟悉的庫侖定律中

其中k稱為靜電力常數。這個無誤差常數：它不是用庫侖扭秤測出來的，而是用麥克斯韋相關理論計算得出。它表示真空中兩個電荷量均為 1C 的點電荷，它們相距1m時，之間的作用力的大小為9.0×10^9N。靜電力常數為

說到靜電力常數，不得不提真空介電常數ε0

ε0與k的關係是：

4π來源於電場截面面積。

介電常數還出現在電容的定義式中，稱為相對介電常數

電容中的介質在外加電場時會產生感應電荷而削弱電場，該介質中的電場減小與原外加電場（真空中）的比值即為相對介電常數。4π來源於球面所有面積微元的電荷產生的場強的矢量和。

我們可以先了解一下電容。平行板電容器由兩塊面積大、板間距離小的平行金屬板組成，因為正對面積S遠大於d^2，兩板的線度遠大於其間距離，可忽略邊緣影響，視作「無限大」平行平板。故充電±Q後，兩極板應均勻帶電，其間產生勻強電場。

如圖，靜電平衡後，設兩極板四個表面的面電荷密度依次為σ1、σ2、σ3、σ4，由對稱性，無限大均勻帶電平面在空間任意一點的場強方向垂直於平面，因靜電平衡後導體內場強為0，由場強疊加原理，有

又因為

聯立以上四式，解出

故此，±Q分佈在兩極板相對的表面上，在兩極板間產生均勻電場E，使兩極板間具有電勢差U為

又有高斯通量定理，將上式代入電容的定義式得到

結合k與ε0的關係，可得下式，在真空時化為上式。

四、阿伏伽德羅常數NA

阿伏伽德羅常數據說是由阿伏伽德羅測出，現在測量方法多樣。其意義是1mol 物質具有的粒子數，mol本義鼴鼠洞，寓意宏觀與微觀的聯繫。

五、氣體普適常數R

世界上發現的第一個定律是波義爾定律，隨後在人們的不懈努力下，先後發展了波義爾定律、查理定律、蓋呂薩克定律等等，最終發現了理想氣體普遍遵循的定律：理想氣體狀態方程（克拉佩龍方程）。該方程在壓強不太大、溫度不太低時成立。

其中R為普適常數，p為氣體壓強，V為氣體體積，n為氣體物質的量，T為熱力學溫度。由實驗得，R的值為

六、引力常量G

萬有引力定律是1687年牛頓發現的一個物體間相互作用的定律。任何物體之間都有相互吸引力，這個力的大小與各個物體的質量成正比例，而與它們之間的距離的平方成反比。這個定律的偉大之處在於它把地面上的物體運動的規律和天體運動的規律統一了起來（地月檢驗），對以後物理學和天文學的發展具有深遠的影響。

萬有引力是自然界最普遍的力，是四種相互作用力中最弱的一個。對於地球上的物體，所受的重力mg與自轉向心力的合力就是該物體所受的萬有引力。

式中m1、m2表示兩個物體的質量，r表示它們間的距離，G則稱為萬有引力常數。

該常數由英國科學家卡文迪許用卡文迪許扭秤測得

測得的結果為

七、玻爾茲曼常量k（kB）

玻爾茲曼常量是熱力學中的一個係數，其物理意義為單個氣體分子的平均平動動能隨熱力學溫度T變化的係數，由奧地利物理學家玻爾茲曼給出。玻爾茲曼在統計力學中很有建樹，其給出的玻爾茲曼常量出現在熵函數、理想氣體狀態方程等熱力學基本方程中，該常量的地位可見一斑。

其數值為

2018年11月16日，在剛結束不久的國際計量大會中通過決議，1K（開爾文）將定義為「對應玻爾茲曼常數為1.3806505×10^-23 J / K 的熱力學溫度」。新的定義於2019年5月20日起正式生效。

八、三個宇宙速度

第一宇宙速度是指衛星最小發射速度，也是人造衛星圍繞地球表面作圓周運動的最大速度，故此也稱環繞速度。第一宇宙速度v1由以下二式得出

其中G為引力常量，g為重力加速度，M為地球質量，m為衛星質量，R為地球半徑，得到第一宇宙速度

第二宇宙速度指航天器脫離地球引力場所需的最低速度。

距地球中心r處的航天器具有的引力勢能為

引力勢能的積分很巧妙，它與設定參考系無關，結果均一致，請讀者自行體會不同位矢方向上的引力勢能積分過程

根據機械能守恆定律當h=0時，動能恰好克服勢能，飛行器脫離地球引力場

聯立解得

飛行器離地球越遠，即r越大，則v越小，即動能為0.當飛行器剛剛脫離時r=R，此時飛行器速度為第二宇宙速度

此時軌道為拋物線，航天器沿拋物線脫離地球引力場，值得注意的是，v1、v2具有如下關係

v1:v2=1:根號2

第三宇宙速度是指航天器脫離太陽引力場所需的最低速度，又叫逃逸速度。

太陽質量為Ms，太陽中心到地球中心距離為R0，類似第二宇宙速度的計算得

地球繞太陽公轉速度為：

故此，只要速度大於

即可。考慮到地球引力，需計入地球引力做功

解得

以上三個宇宙速度都是相對地心的。

同樣地，第四宇宙速度是指在地球上發射的物體脫離銀河系引力場所需要的速度，約為110-120 km/s，但由於銀河系的半徑、質量無法準確得到，第四宇宙速度至今無法確認。

來張宇宙速度的全家福，注意單位是千米每秒哦

九、元電荷e 法拉第常數F

1897年，湯姆遜用陰極射線管發現了電子，因為未能直接測量出基本電荷即電子電量，尚存疑慮，隨後他的學生們想盡辦法測量仍不盡人意，這更加深了陰極射線是以太振動的看法。

隨後，密立根意識到，測定出e可以消除疑慮，而且元電荷本身也具有極其重要的意義。於是他設計了密立根油滴實驗。

簡化圖如上圖所示，裝置C中M、N為兩塊帶電黃銅圓板，直徑22cm，距離16mm，M中間開有小孔，噴霧器由小孔噴入油滴，M、N接電壓可變的電源，使其間有電場，用放射線使油滴帶電，用弧光燈照射油滴，並用短焦距望遠鏡（未畫出）觀測油滴的運動速度，進而測定油滴速度。

測量的原理是，設油滴半徑為a，密度為ρ，速度為v，空氣密度為ρ0，粘滯係數為η，重力加速度為g，未加電場時油滴受重力為

空氣浮力為

由斯托克定律，摩擦阻力為

當三力平衡時，油滴以收尾速度v0勻速下降，滿足

當M、N間接電源時，設油滴帶電q，於是油滴收到向下的電場力F電=qE. 當重力、電場力、空氣浮力、摩擦阻力四力平衡時油滴以另一收尾速度v1勻速下降，滿足

聯立以上兩式，消去a，得到

其中，η、a、ρ、ρ0、E、g均已知，測出無電場和加電場時油滴的收尾速度v0和v1，即可得到所帶電量q. 密立根和他的學生們觀測了幾千個電荷，實驗結果表明，電荷是量子化的，存在基本電荷，即油滴所帶電荷量總是某一最小值e的整數倍，並精確地測定了元電荷e的數值。

還應指出，密立根在實驗中觀察到，某些電場中懸浮的帶電油滴的速度會跳躍式地改變而不是連續緩慢地改變，密立根認為這是獲得或失去一個或數個基本電荷的結果他堅信存在元電荷、電荷是量子化的。

密立根油滴實驗十分精巧，深受某位教授喜愛，應予重視。

由此衍生出了法拉第常數。法拉第常數是近代物理研究中一個重要的常數，尤其在確定一個物質帶有多少離子或者電子時尤為重要。法拉第常數數值上等於每摩爾電子所攜帶的電荷，結合阿伏伽德羅常數，我們得到法拉第常數F為

十、史瓦西半徑

史瓦西半徑的是從物體逃逸速度的公式衍生來的。它指如果特定質量的物質被壓縮到此半徑值之內，將沒有任何已知類型的力可以阻止該物質在自身引力的條件下將自己壓縮成一個黑洞。

這個半徑是一個球狀對稱、不自轉的物體的重力場的精確解， 任何有質量的物體都具有史瓦西半徑，而且物體的史瓦西半徑與其質量成正比。

簡而言之，某質量物體在其史瓦西半徑範圍內將成為黑洞。

例如太陽的史瓦西半徑約為3km，地球的史瓦西半徑只有約9毫米。

一個成年人的史瓦西半徑約為10^-26m.

史瓦西半徑的推導過程並不複雜，由以下五個式子基本推出，留給各位讀者，請自行推導、理解含義。

基本物理常數反映了物理世界的基本特徵，決定了物質結構的層次，確立了不可逾越的界限，成為物理學大廈的基石和標誌。我們應熟悉物理常量，在對它們有印象的前提下，理解背後的實驗設計、原理、方法等本質內容就更好了。

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也叫 一隻甲基橙

歡迎批評指正

哈茂森

2018.10.9 於北京大學化學樓

筆芯

嘻嘻

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