• Cauchy應力張量 sigma 是定義在當前構形的二階對稱應力，是物體的真實應力。具有對稱性的、
  • Krichhoff應力張量 au 定義為：

au=frac{dv}{dV}sigma=Jsigma ag{1}

廣泛應用於金屬塑性的數值演算法（在塑性變形過程中體積沒有變化）。它的另一個名稱是加權柯西應力張量。

第一類Piola-Krichhoff應力 P 亦成為「名義應力張量（nominal stress tensor）」，該應力張量作用在單位參考構形面積上的力。

sigma cdot da=Pcdot dA ag{2}

根據參考體積微元 dv 與當前體積微元 dV 之間的關係式，可得：

dv=dacdot ds=JdV=JdAcdot dS ag{3}

上式中， da 為當前面積微元， ds 為當前線元， dA 為參考面積微元， dS 為參考線元， J=detF ， F 是變形梯度，有 ds=Fcdot dS ，可以得到

dacdot Fcdot dS=JdAcdot dS ag{4}

因此得到參考面元與當前面元的Nanson關係式：

da=JF^{-T}cdot dA ag{5}

代入上式從而得到PK1應力 P 與Cauchy應力 sigma 及Krichhoff應力 au 之間的關係式：

P=Jsigma F^{-T}= au F^{-T} ag{6}

這種應力是非對稱的，並且是類似變形梯度的兩點張量。這種不對稱性源於這樣一個事實，即作為一個張量，它具有一個附在參考構型上的基矢量和一個附在變形構型上的基矢量。

第二類Piola-Krichhoff應力 T ，PK2應力張量具有對稱性，而且完全作用在參考構形上，通過在PK1應力張量上左端點積 F^{-1} 得到：

T=F^{-1}cdot P=JF^{-1}cdot sigmacdot F^{-T} ag{6}

為具體對PK2應力張量的對稱性及作用在參考構形上進行觀察，我們可以給出其分量表達式進行推導： T=Jfrac{partial X_{J}}{partial x_{i}}e_{i}e_{J}cdot sigma_{mn}e_{m}e_{n}cdotfrac{partial X_{K}}{partial x_{l}}e_{K}e_{l}=Jfrac {partial X_{J}}{partial x_{m}} sigma_{mn}frac {partial X_{K}}{partial x_{n}}e_{J}e_{K} ag{7}

由於Cauchy應力張量 sigma 是對稱張量，顯然PK2應力張量 T 也是對稱張量，且其基矢量都在參考構形上。

（未完待續，其餘應力張量在之後進行展開。）


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