1、频率特性：稳定的线性定常系统在正弦信号的作用下，系统输出的稳态分量与输入的复数之比；其中，输出的稳态分量振幅与输入的振幅比A(w)称为幅频特性，输出的稳态分量相位与输入的相角之差φ(w)称为相频特性，即G(jw)=frac{C(jw)}{R(jw)}(=U(w)+jV(w))=A(w)e^{jvarphi(w)}。

2、频率特性的几何表示

  • 幅相频率特性曲线：(简称幅相曲线或奈氏曲线或极坐标图)：当w从0→∞变化时，G(jw)在复平面上的运动轨迹。画图方法：

法一：对每一个w值计算幅值A(w)和相角φ(w)，然后描点并将这些点连成光滑曲线；

法二：对每一个w值计算U(w)、V(w)，然后描点连线。

正实轴方向相角为零度线，逆时针方向正角度，顺时针方向负角度。曲线上标注w增大的方向
  • 对数频率特性曲线：（简称对数坐标图或伯德图）

①对数幅频特性： L(w)=20lg A(w)

②对数相频特性： varphi (w)

③横坐标是频率w，采用对数分度，单位是rad/s； 对数幅频特性曲线的纵坐标为对数幅频特性的函数值，采用均匀分度，单位是dB；对数相频特性曲线的纵坐标为相频特性的函数值，采用均匀分度，单位是（°）。

注：采用对数显著优点是将频率特性的幅值乘除变为相加减，简化作图。

w变化一倍，称为一倍频程，w每变化十倍，称为一个十倍频程。十倍频程在w轴的间距为一个单位长度。一个倍频程的间隔距离为0.301个单位长度

3、 典型环节的频率特性

①比例环节 G(s)=K

幅相频率特性： G(jw)=K，幅频特性 A(w)=K； 相频特性 φ(w)=0°；曲线为实轴上一点。

对数频率特性：L(w)=20lgK； φ(w)=0°
改变K：幅频曲线升高或降低；相频曲线不变

②积分环节G(S)= frac{1}{s}

幅相频率特性：G(jw)= frac{1}{jw}；幅频特性： A(w)= frac{1}{w} ；相频特性：-90°

对数频率特性：L(w)=20lg frac{1}{w} =-20lgw； φ(w)=-90°
伯德图中横坐标采用对数分度，令x=lgw，则y=-20x，故对数幅频特性是一条直线，斜率为-20dB/dec

③微分环节G(S)=S(纯微分)

幅相频率特性：G(jw)=jw；幅频特性：A(w)=w； 相频特性：φ(w)=90°

对数频率特性：L(w)=20lgw；φ(w)=90°

一阶微分环节G(S)=Ts+1

幅相频率特性：G(jw)=Tjw+1；A(w)= sqrt{(Tw)^2+1} ；φ(w)=arctanTw

对数频率特性：L(w)=20lgsqrt{(Tw)^2+1} ；φ(w)=arctanTw【 wTll 1时，L(w)≈20lg1=0，wTgg 1时，L(w)≈20lgTw】

注：在w=1/T时，低频渐近线和高频渐近线相交，称为交接频率。

二阶微分环节G(S)= T^2s^2+2ζTs+1 （0<ζ<1）；G(jw)= 1-T^2w^2+2ζTjw

幅相频率特性:A(w)= sqrt{(1-T^2w^2)^2+(2ζTw)^2}；φ(w)=arctanfrac{2ζTw}{1-T^2w^2}

【w=0时，A(0)=1，φ(0)=0°；w=1/T，A(1/T)=2ζ，φ(1/T)=90°；w=∞，A(∞)=∞，φ(∞)=180°】

对数频率特性：L(w)=20lgsqrt{(1-T^2w^2)^2+(2ζTw)^2}；φ(w)=arctanfrac{2ζTw}{1-T^2w^2}令 frac{dA(w)}{dw} =0有：w_{r}=w_{n}sqrt{1-2ζ^2} ； M_{r}=A(w_{r})= 2ζsqrt{1-ζ^2}ζ越小，wr越接近wn，谐振值M_{r}越小；当ζ大于 frac{sqrt{2}}{2} 时，将不发生谐振，即A(w)随著w增大而单调增大。

④惯性环节G(S)= frac{1}{Ts+1}

幅相频率特性：G(jw)= frac{1}{Tjw+1}；A(w)= frac{1}{sqrt{(TW)^{2}+1}} ；φ(w)=-arctanTw

【当w=0时，A(0)=1，φ(0)=0°；当w=1/T时， A(1/T)= frac{1}{sqrt{2}} ， φ(1/T)=-45°；当w=∞时，A(∞)=0，φ(∞)=-90°】对数频率特性：L(w)=20lgfrac{1}{sqrt{(TW)^{2}+1}}，φ(w)=-arctanTw【 wTll 1时，L(w)≈20lg1=0，wTgg 1时，L(w)≈20lg frac{1}{Tw}】

⑤振荡环节G(s)=frac{1}{T^{2}s^{2}+2ξTs+1}(式中T= frac{1}{w_{n}} , 0<ζ<1)；G(jw)= frac{1}{1-T^2w^2+2ζTjw}

幅相频率特性：A(jw)= frac{1}{sqrt{(1-T^2w^2)^2+(2ζTw)^2}}；φ(w)=-arctan frac{2ζTw}{1-T^2w^2}

【当w=0时，A(0)=1，φ(0)=0°；当w=1/T=wn时，A(1/T)= 1/2ζ，φ(1/T)=-90°；当w=∞时，A(∞)=0，φ(∞)=-180°】【令 frac{dA(w)}{dw} =0，有谐振频率 w_{r} = w_{n}sqrt{1-2ζ^2} ，谐振峰值： M_{r} =A( w_{r} )= frac{1}{2ζsqrt{1-ζ^2}}当 w_n固定， zeta 越小， w_r越接近 w_n，M_{r}越大；当ζ大于 frac{sqrt{2}}{2} 时，将不发生谐振，即A(w)随著w增大而单调减小】
ζ小于0.707时，ζ越小，wr越接近wn，Mr越大; ζ大于0.707时不发生谐振

对数频率特性：L(w)=-20lg sqrt{(1-T^2w^2)^2+(2ζTw)^2}；φ(w)=-arctanfrac{2ζTw}{1-T^2w^2}

【 wTll 1时，L(w)≈20lg1=0，wTgg 1时，L(w)≈-20lg (Tw)^2】

⑥延时环节G(S)= e^{-τs}

幅相频率特性：G(jw)=e^{-τjw}；幅频特性：A(w)=1；相频特性：φ(w)=-57.3τw

对数频率特性：L(w)=0；φ(w)=-57.3w

①积分与微分环节

比较：

4、绘图

  • 奈氏曲线制图方法： G(jw)=frac{KPi_{j=1}^{m} ( au_j jw+1)} {(jw)^v Pi_{i=1}^{n-v} (T_i jw+1)}

①起点:令w→0，则G(j0)=lim_{w ightarrow 0}{frac{K}{(jw)^v}}= lim_{w ightarrow 0}{frac{K}{w^v}e^{j(-v90°)}}

0型系统：始于实轴(K,j0)的点

Ⅰ型系统：始于相角为-90°的无穷远处;当w趋于0+时，曲线与虚轴平行Ⅱ型系统：始于相角为-180°的无穷远处;当w趋于0+时，曲线渐进与负实轴平行

②终点: G(jinfty)=lim_{w ightarrow infty}{frac{KPi_{j=1}^{m} ( au_j jw+1)} {(jw)^v Pi_{i=1}^{n-v} (T_i jw+1)}} =0e^{-j(n-m)90^circ} ,n>m。

③与实轴的交点:令Im[G(jw)]=0，求出交点频率w1，代入Re[G(jw1)]。

④与虚轴的交点:令Re[G(jw)]=0，求出交点频率w1，代入Im[G(jw1)]。

⑤变化范围(象限、单调性）

若无一阶微分环节：相角单调减小，曲线平滑变化

若有一阶微分环节：相角可能不是单调变化，曲线会出现凹凸现象
  • 伯德图制图方法：G(jw)=G_{1} (jw) G_{2} (jw)... G_{n} (jw)= prod_{i=1}^{n}A_{i}(w)e^{jsum_{i=1}^{n}{φ_{i}(w)}} =A(w) e^{jφ(w)}

对数幅频特性：L(w)=20lgA(w)=20 sum_{i=1}^{n}{lg A_{i}(w)}

对数相频特性：φ(w)= sum_{i=1}^{n}{φ_{i}(w)}传递函数由n个典型环节串联起来，那么其对数频率特性曲线可通过线性叠加而成。

5、最小相位系统：传递函数在S右半平面上没有零、极点。相角变化范围最小。

非最小相位系统(在S右半平面上有零、极点；相角变化范围大于最小相位系统）

最小相位系统：对数幅频特性曲线的变化趋势和对数相频特性曲线的变化趋势一致。

检查系统在w→∞时的相角是否等于-90°(n-m)，可判断系统是否为最小相位系统。

6、稳定性判据

  • 辅助函数F(s)=1+G_k(s)=frac{D(s)+N(s)}{D(s)} =frac{(s+z_1)(s+z_2)cdots(s+z_n)}{(s+p_1)(s+p_2)cdots(s+p_n)}

F(s)的零点zi为闭环传递函数的极点，F(s)的极点pi为开环传递函数的极点;

F(s)的零点和极点数目相同;F(s)和Gk(s)相差1.

在复变函数映射F下，s平面上任选一点s，在F(s)平面上找到一个对应的点；点 s=-z_j 和 s=-p_i 在F(s)平面上映射为零点和奇点。在s平面上，选择一条不穿过F(s)的任意零点和极点的封闭曲线Γs，则在F(s)平面上也必然有一条封闭曲线ΓF（为什么不穿过其零点和极点，是因为要确保每一个s，在其对应的F(s)都可以有一个值，那么s平面上通过一周时，F(s)平面上必然也会通过一周），我们感兴趣的不是ΓF的具体形状，而是其包围F(s)平面坐标原点的次数和运动方向。

left| F(s) ight|angle F(s) =frac{prod_{j=1}^{n}left|s+z_j ight|}{prod_{i=1}^{n}left|s+p_i ight|} [Sigma_{j=1}^{n}angle(s+z_j)- Sigma_{i=1}^{n}angle(s+p_i)]

当s沿Γs变化时，F(s)的相角变化为 Deltaangle F(s)=Sigma_{j=1}^{n}Deltaangle(s+z_j)- Sigma_{i=1}^{n}Deltaangle(s+p_i)

例如，假定s平面上Γs包围了F(s)的一个零点z1，而其他零极点都位于Γs之外，那么当动点s在s平面上围绕著这条曲线，顺时针走一圈的时候，只有z1的相角变化了-2π，其他的点都没有变化，因此△∠F(s)等于△∠(s-z1)，F(s)的相角变化为-2π，说明F(s)在F(s)平面上顺时针绕原点走了一周。同理，当有Z个零点时，对应F(s)就顺时针走Z周，当有P个极点时，对应F(s)就逆时针走P周。

  • 幅角原理：s平面上的封闭曲线Γs包围了F(s)的Z个零点和P个极点，则s沿Γs顺时针运动一周时，F(s)沿ΓF曲线按逆时针方向包围坐标原点的周数N满足：N=P-Z。

  • 奈奎斯特稳定判据

由于 G_k(s)与F(s)相差1，因此在 G_k(s) 平面上看曲线包围（-1，j0）就相当于F(S)包围原点的情况：

①s沿Γs正虚轴变化，通过 G_k(s) 映射到ΓF，即奈奎斯曲线；

②s沿Γs无穷大半圆变化，因为n≥m，当|s|→∞时，所以 G_k(s) →0，映射F(s)平面上原点。③s沿Γs负虚轴变化，在F(s)平面映射是极坐标图关于实轴的镜像。

闭环系统稳定的充分必要条件：

Z=0，即N=P，其中Z为 F(s)在s 右半平面零点数(即特征方程根在s右半平面个数)；N为奈氏曲线(即 G_k(s) 在s由 -jinfty ightarrow+jinfty 时的曲线) 逆时针包围临界点（-1，j0）的周数，P为F(s)在s 右半平面极点数(即 G_k(s) 在s右半平面极点数)。

注：如果只需画w从0~∞时，公式变为Z=P-2N。

注：对于0型系统，只要画出 G_k(s) 的奈氏曲线就可判断其闭环稳定性。若闭环系统临界稳定，此时奈氏曲线穿过临界点，奈氏曲线逆时针包围临界点的周数不定。

注：对于I型II型系统，即G_k(s)=frac{Kprod_{i=1}^{m}(τ_{i}s+1)}{s^vprod_{j=1}^{n-v}(T_{j}s+1)}，由-jinfty ightarrow+jinfty 时s不能取原点值，故须对Γs进行必要处理，如下图

令Γs在原点附近以半径为ε趋于0的半圆从右侧逆时针绕过原点，其他地方方向不变
w从0-变到o+时，θ从-90°变到+90°，这时在Gk(S)平面上映射的曲线将沿著半径为无穷大的圆弧按顺时针从v90°经过0°转到-v90°。由于对称，图只画正一半：求出G(j0+)，得出其幅值和相角；然后在那个点逆时针补画v90°的虚线

注：有时围绕点(-1，j0)的逆时针和顺时针同时存在，造成计算困难，此时可通过曲线在（-1，j0）点左侧负实轴上穿越次数来获得N：N+表示(半)正穿越次数，N-表示(半)负穿越次数，有N=(N+)-(N-)。

w增大时，曲线自上而下通过（-1,j0）点左侧的负实轴，为正穿越，如点2；w增大时，曲线自下而上穿过（-1,j0）点左侧的负实轴，为负穿越，如点1；4点在(-1,j0)点的右侧，不算穿越

Gk(jω)起于－1之左实轴，为半次穿越，记为?

注：最小相角系统G(jω)过(-1,j0)点时，闭环系统临界稳定。

在小图3~4中，幅相曲线离 (-1,j0)点越远，相对稳定性越好
  • 对数频率稳定判据：w从0~∞且Z=0时，N=P/2，即在L(w)＞0的区间内，φ(w)曲线对-180°线的穿越次数N为P/2。

奈氏曲线和Bode图的关系：

①单位圆对应0分贝线，单位圆之外对应0分贝线以上（L(w)＞0），单位圆之内对应0分贝线以下（L(w)＜0）；

②奈氏曲线上负实轴对应于Bode图曲线上的-180°线。③利用L(w)＞0的区间内，φ(w)曲线对-180°线的穿越次数来计算N，在L(w)＞0中，从上向下为负穿越，从下向上为正穿越。
若存在积分环节，在对数相频特性曲线 w=0+处，由下向上补画一条虚线，该虚线通过的相角为v90°

7、性能指标

  • 稳定裕度(要综合考虑幅值裕度和相位裕度)

①相位裕度γ：开环频率特性的幅值为1时，此刻频率ωc为截止频率，其相角与180°之和定义为相位裕度 γ=180°+ angle G_k(jw_{c})。

γ越大，稳定性越好。但过大会影响系统其他性能，一般γ为30°～60°；开环相频特性再滞后γ度，则系统处于临界稳定状态；相位裕度为负γ＜0，则系统不稳定

②幅值裕度hg：相频特性为-180°时(与负实轴相交)，此刻频率ωg为相位穿越频率，点(-1,j0)幅值与 A(w_g) 幅值之比为幅值裕度 h_g=frac{1}{A(w_{g})} ，对数幅值稳定裕度 L_{g}=-20lgA(w_{g})

幅频特性A(w)再增大hg倍，系统临界稳定；当hg大于1(即Lg大于0)时系统稳定(一般选Lg为6～20dB)，当hg小于1(即Lg小于0)时系统不稳定
伯德图对应的Lg和γ
  • 动态性能(常采用相位裕度γ和截止频率w_c来刻画)

③截止频率wc： 为G_k(s) 的幅值 A(w)=1 时的频率。 w_c 越大且γ越小，系统的快速性越好，当 w_c 调到最大且γ调到0时，输入和输出基本一致。

  • 稳态性能：与低频段斜率(即积分环节数目/型别)和点A(与系统放大系数即误差系数)相关。

8、频率性能指标和时域指标的关系

  • 典型二阶系统（0<ζ<1）

G_k(s)=frac{w_{n}^2}{s(s+2ζw_{n})}，G_k(jw)=frac{w_{n}^2}{jw(jw+2ζw_{n})}=frac{w_{n}^2}{wsqrt{w^2+4ζ^2w_{n}^2}}∠-90°-arctan frac{w}{2ζw_{n}}

Φ(s)=frac{w_{n}^2}{s^2+2ζw_{n}s+w_{n}^2} ，闭环幅频特性 M(w)=frac{1}{sqrt{[(1-frac{w^2}{w_{n}^2})^2+4ζ^2frac{w^2}{w_{n}^2}]}}

①稳定性：幅值裕度无穷大(其幅相曲线永远不会穿越（-1，j0）)的左侧。

②动态性能：

由wc定义有A(w_c)=frac{w_{n}^2}{w_{c}sqrt{w_{c}^2+4ζ^2w_{n}^2}}=1，截止频率： w_{c}=w_{n}sqrt{sqrt{4ζ^4+1}-2ζ^2}

相位裕度

超调量： sigma\%=e^{-zetapi/ sqrt{1-zeta^2}} （关系：若 zeta 增大， gamma 随之增大，sigma\%随之减小。）

调节时间： t_s(5\%)approx 3/(zeta w_n)， t_s(2\%)approx 4/(zeta w_n) （关系：若zeta 不变，w_c 随之增大，t_s随之减小。）

9、频率分析的特点：

①频域稳定性是根据开环特性研究闭环系统的稳定性，不必求闭环特征方程式（在传递函数未知情况下，无法使用劳斯判据或者根轨迹法判断闭环稳定性，这时利用实验方法测出其系统的开环频率特性曲线，可分析系统的稳定性，还可指出系统的稳定裕度）。

②频率分析法不仅适用于线性定常系统，还可以应用于某些非线性系统。

欢迎大家前来交流相关自动控制问题。如有不对的地方，望不吝赐教！

***以上内容未经本人同意，禁止转载***


推荐阅读：
相关文章