傅里葉變化基礎：CTFS, CTFT, DFT, DTFT

正巧大學室友剛剛開始實習，工作中遇到了信號處理相關的問題，我就想借這個機會整理一下信號處理中關於傅里葉變換的一些基礎知識。而因為當時是英文授課，翻譯不全或不對還望海涵。

一、不同的傅里葉變換

1. 傅里葉級數 Continuous Time Fourier Series

時間域內周期性 <-> 頻域內離散

periodic in time <-> discrete in frequency

基頻 Fundamental frequency: [rad/s]
正向變換 Forward transform: $X_k=frac{1}{T_0}int_{0}^{T_0}x(t)e^{-jkOmega_0t}dt$
逆變換 Inverse transform: $x_t=sum_{k=-infty}^{infty}{X_ke^{jkOmega_0t}}$
帕塞瓦爾定理 Parsevals theorem: $frac{1}{T0}int_{0}^{T_0}|x_0(t)|^2dt=sum_{k=-infty}^{infty}{|X_k|^2}$

2. 傅里葉變換

時間內無窮對應頻域內連續 infinite in time <-> continuous in frequency

時間內連續對應頻域內無窮 continuous in time <-> infinite in frequency

正向變換 Forward transform: $X(jOmega)=int_{-infty}^{infty}x(t)e^{-jOmega t}dt$
逆變換 Inverse transform: $x(t)=frac{1}{2pi}int_{k=-infty}^{infty}{X(jOmega)e^{jOmega t}}dOmega$
帕塞瓦爾定理（總能量） Parsevals theorem (total energy): $int_{-infty}^{infty}|x_0(t)|^2dt=frac{1}{2pi}int_{k=-infty}^{infty}{|X(jOmega)|^2 dOmega}$

3. 離散時間傅里葉變換

時間內離散對應頻域內周期性 discrete in time <-> periodic in frequency

時間內無窮對應頻域內連續 infinite in time <-> continuous in frequency

正向變換 Forward transform: $X(e^{jomega})=sum_{n=-infty}^{infty}x[n]e^{-jomega n}$
逆變換 Inverse transform: $x[n]=frac{1}{2pi}int_{0}^{2pi}{X(e^{jomega})e^{jomega n}}d omega$
帕塞瓦爾定理（總能量） Parsevals theorem (total energy): $sum_{n=-infty}^{infty}|x[n]|^2dt=frac{1}{2pi}int_{0}^{2pi}{|X(e^{jomega})|^2 domega}$

4. 離散傅里葉變換

時間內周期性對應頻域內離散 periodic in time <-> discrete in frequency

時間內離散對應頻域內周期性 discrete in time <-> periodic in frequency

基頻 Fundamental frequency: [rad/sample]
正向變換 Forward transform: $X(k)=sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-jkomega_0 n}$
逆變換 Inverse transform: $x[n]=frac{1}{N}sum_{k=0}^{N-1}{X[k]e^{jkomega_0 n}}$
帕塞瓦爾定理（總能量） Parsevals theorem (total energy): $sum_{n=0}^{N-1}|x[n]|^2dt=frac{1}{N}sum_{k=0}^{N-1}{|X(k)|^2}$