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Bloch定理和Picard小定理

雪花臺灣 2019-02-07 14:00

本文將先證明Bloch定理，這個定理給出解析函數的像集的描述：

以下設是圓心在原點的單位開圓盤，

是以為圓心，為半徑的開圓盤

Bloch定理(1924) 不是常值函數，設在點處取最大值那麼 $B(f(p),left( frac{3}{2}-sqrt2 ight)M)subset f(D)$

該定理得到的如下推論，可用來證明Picard小定理：

推論1 設是區域， , ,那麼中有半徑為 $(frac{3}{2}-sqrt 2)sleft| f(c) ight|$ 的圓盤，其中

證明：不妨設 ,定義 $g(z)=frac{f(sz)}{sf(0)}$ ,

注意到對於函數可以認為 ,而且

那麼用Bloch定理，這裡

得到半徑為 $frac{3}{2}-sqrt2$ 的圓盤含於 ,

而 ,從而得證 #

推論2 非常數整函數的像集包含半徑任意大的圓盤

註：這個推論是證明Picard小定理的關鍵

接下來建立兩個引理用於證明Bloch定理，第一個引理是開映射的性質，第二個則是一個不等式。

引理1 設G是有界區域，並且在上是開映射，那麼對於任何

定義 $s=min_{zin partial G}left| f(z)-f(a) ight|$ ，那麼包含圓盤

證明：定義 $S=inf_{w otin f(G)}left|w-f(a) ight|$ ,只用證明

由為開集及是緊的知

$S=min_{win partial f(G)}left|w-f(a) ight|$ ，於是存在

使得 ,那麼存在序列 $left{ z_n ight}subset G$

使得 $lim_{n ightarrow infty}f(z_n)=w_0$ ,由為緊知 $left{ z_n ight}$ 有收斂子列，

不妨設 $left{ z_n ight}$ 收斂到 ,由為開映射知

從而 ,由定義知

#

註：非常數解析函數都是開映射，從而適用引理1

引理2 設不為常值的函數 , ,設

$left| f ight|_{B(0,r)}=sup_{zin B(0,r)}left| f(z) ight|,A(z)=f(z)-zf(0),left| z ight|<r$

那麼有不等式 $left| A(z) ight|leq frac{left| z ight|^2}{2(r-left| z ight|)}left| f ight|_{B(0,r)}$

證明：

由Cauchy積分公式知對於有

$f(z)-f(0)=frac{z}{2pi i}int_{partial B(0,r)}frac{f(w)dw}{w(w-z)}$

那麼 $left| f(z)-f(0) ight|leq frac{left| z ight|}{2pi}int_{partial B(0,r)}frac{left| f ight|_{B(0,r)}}{left| w ight|left| w-z ight|}left| dw ight|$

$leq frac{left| z ight|}{2pi}int_{partial B(0,r)}frac{left| f ight|_{B(0,r)}}{r(left| w ight|-left| z ight|)}left| dw ight|=frac{z}{r-left| z ight|}left| f ight|_{B(0,r)}$

那麼

$leq int_0^1frac{left| zt ight|left| f ight|_{B(0,r)}}{r-left| zt ight|}left| z ight|dtleq frac{left| z ight|^2}{2(r-left| z ight|)}left| f ight|_{B(0,r)}$ #

Bloch定理的證明：不妨設

設 $gamma=frac{1-left| p ight|}{2}$ ,那麼

易見 ( )

, $1-gamma=frac{1+left|p ight|}{2}$

從而由及上述不等式知

對

設其中

對用引理2，便有 $left| A(z) ight|leqfrac{left| z ight|^2}{gamma-left| z ight|}left| g (0) ight|$

設，對於，

有

結合的不等式便有 $left| g(z) ight|geq(x-frac{x^2}{gamma-x})left| g(0) ight|$

當 $x=x_0=(1-frac{sqrt2}{2})gamma$ 時，

右式最大且值為

即 $min_{zinpartial B(0,x_0)}left| g(z)-g(0) ight|geq (3-2sqrt2)gammaleft| g(0) ight|=(frac{3}{2}-sqrt2)left| f(p) ight|$

對於 $gin A(ar B(0,(1-frac{sqrt2}{2})gamma))$ 用引理1

得到圓盤 $B(f(p),left( frac{3}{2}-sqrt2 ight)M)subset g(B(0,x_0))subset f(D)$ #

自然的問題是如果設函數族

那麼中的全部函數能包含的圓盤半徑的最大值是多少？

我們已經證明(見推論1) $Lgeq frac{3}{2}-sqrt2$ ,

已經被證明 ,我會在文末給出參考文獻

接下來我們用推論2證明Picard小定理

先建立如下引理

引理3 設是複平面上的單連通區域，

滿足 ,那麼存在使得

證明: 從而使得

於是 ,而

從而使得 $f+ig=e^{iF}$

那麼 $f=frac{e^{iF}+e^{-iF}}{2}=cosF$ #

推論3 設是複平面上的單連通區域，

滿足 ,那麼存在使得

$f=frac{1}{2}(1+cospi cos(pi g))$ ,

並且的像集中不存在半徑大於等於1的圓盤

證明：對用引理3，得到

使得 ,這裡不取整數值，

自然適用引理3，從而使得

,從而 $f=frac{1}{2}(1+cospi cos(pi g))$

這裡 ,定義集合

$A=left{ mpm frac{i}{pi}log(n+sqrt{n^2-1})|minmathbb Z,nin mathbb Z^+ ight}$

對於中的點 $mpm frac{i}{pi}log(n+sqrt{n^2-1})$

有 $cospi (mpm frac{i}{pi}log(n+sqrt{n^2-1}))=(-1)^mcos(ilog(n+sqrt{n^2-1}))$

$=(-1)^m((n+sqrt{n^2-1})^{-1}+n+sqrt{n^2-1})/2=(-1)^mn$

從而 ,注意到在平面上是一些格點

任何相鄰兩點 $m+ frac{i}{pi}log(n+sqrt{n^2-1})$ ,

$m+ frac{i}{pi}log(n+1+sqrt{{(n+1)}^2-1})$

藉助如下估計可得們的距離小於1

$log(n+1+sqrt{{(n+1)}^2-1})-log(n+sqrt{n^2-1})=logfrac{1+frac{2}{n}+sqrt{1+frac{1}{n}}}{1+sqrt{1-frac{1}{n^2}}}$

$leq log(1+frac{1}{n}+sqrt{1+frac{2}{n}})leq log(2+sqrt3)leqpi$

假設的像集中存在半徑大於等於1的圓盤，

圓心落在中某四個點組成的一個長寬皆小於等於1的矩形中，

則與矛盾 #

Picard小定理 整函數的像集若滿足

則是常數

(換句話說，不為常值的整函數至多隻會取不到某個複數，

如只取不到0)

證明：用推論3再用推論2 #

這裡推論3可以證明函數族

$Im _r=left{ fin A(ar D)|0,1 otin Imf,left| f(0) ight|leq r ight}$ 是內閉一致有界的

並給出Picard大定理的證明，我會在後文介紹

用Bloch定理證明Picard小定理的方法是一個相對初等和容易理解的辦法，其他的證明可能會涉及模函數和幾何。

參考文獻

GTM172 Classical Topics in Complex Function Theory. Reinhold Remmert

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