引言與介紹

本文所謂的復求導是指變數是複數(複數變數)的求導,實求導是指變數是實數(實數變數)的求導。

本文主要包括兩部分內容:

  • 第一部分,復求導與實求導之間的關係

    分為當求導變數是標量、當求導變數是矢量兩種情況,並推導得出了一個重要公式:frac{partial {f w}^{H}{f R}{f w}}{partial {f w}} =  2  {f R}{f w} ,其中{f w} in mathbb{C}^{M 	imes 1}{f R} in mathbb{C}^{M 	imes M}

  • 第二部分,把複數計算轉化成為實數計算得出了兩個重要公式:(1)若{f w} in mathbb{C}^{M 	imes 1}{f R} in mathbb{C}^{M 	imes M}{f R} 是共軛對稱(Hermitian)矩陣,那麼有 {f w}^{H}{f R}{f w} = left[ egin{array}{c} {f w}_{R} \ {f w}_{I} \ end{array} 
ight] left[ egin{array}{cc} {f R}_{R} & -{f R}_{I} \ {f R}_{I} & {f R} end{array} 
ight] left[ egin{array}{c} {f w}_{R} \ {f w}_{I} \ end{array} 
ight] ,其中下標{cdot}_{R}{cdot}_{I} 分別表示對應變數的實部和虛部;(2)若 {f x} in mathbb{C}^{M 	imes 1}{f y} in mathbb{C}^{N 	imes 1}{f A} in mathbb{C}^{N 	imes M} ,且滿足 {f y} = {f A}{f x} ,那麼有

    left[ egin{array}{c} {f y}_{R} \  {f y}_{I} end{array} 
ight] =left[ egin{array}{cc} {f A}_{R} & -{f A}_{I} \ {f A}_{I} & {f A}_{R} end{array} 
ight] left[ egin{array}{c} {f x}_{R} \ {f x}_{I} end{array} 
ight]

下面我上傳英文版的原稿,圖片格式。


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