【物理學家的數學工具箱】之矢量分析(2)

2. 矢量的分量

目前為止, 我們還沒有在一個坐標系中討論矢量. 雖然矢量的運算和定義都獨立於任一坐標系, 但是終將用其解決實際問題, 因此我們要選擇一個坐標系.

首先, 選擇我們熟悉的直角坐標系. 為了簡單, 先將自己限制在二維繫統中, 即平面, 再推廣到三維繫統. 設有一個矢量 , 將它的起點放在原點, 其沿著軸和軸的投影稱為的分量, 分別記為和 . 的大小是 $sqrt{A_x^2+A_y^2}$ , 方向用其和軸的夾角表示: .

因此, 我們可以從分量的角度來定義一個矢量, 有

${f A}=(A_x, A_y),$

更一般的三維情形下, 有

${f A}=(A_x, A_y, A_z).$

可以用三維直角坐標系證明 ${f A}=sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}.$ 要注意到的是, 矢量本身與坐標系無關, 但其分量則依賴於具體的坐標系.

根據以上的討論, 我們現在可以把矢量運算都寫成分量的形式, 例如標量乘法寫為

向量加法為

通過對應坐標軸分量相乘再求和, 得到點積

對於叉積則要引入基底矢量的概念.

3. 基底矢量

基底矢量是一組正交的(相互垂直)的單位矢量, 一個基底矢量對應一個維度. 對於三維直角坐標系, 其三個基底矢量分別沿著三個坐標軸. 我們使用來分別表示軸, 軸和軸的基底矢量.

基底矢量具有如下性質, 你可以試著自己進行證明:

$egin{align*} hat{mathbf{i}}cdothat{mathbf{i}}&= hat{mathbf{j}}cdothat{mathbf{j}}= hat{mathbf{k}}cdothat{mathbf{k}}=1\ hat{mathbf{i}}cdothat{mathbf{j}}&=hat{mathbf{j}}cdothat{mathbf{k}}=hat{mathbf{k}}cdothat{mathbf{i}}=0\ hat{mathbf{i}} imeshat{mathbf{j}}&=hat{mathbf{k}}\ hat{mathbf{j}} imeshat{mathbf{k}}&=hat{mathbf{i}}\ hat{mathbf{k}} imeshat{mathbf{i}}&=hat{mathbf{j}}. end{align*}$

因此, 我們可以用分量和基底矢量來表示任意三維矢量:

$mathbf{A}=A_xhat{mathbf{i}}+A_yhat{mathbf{j}}+A_zhat{mathbf{k}}.$

為了得到一個矢量在任意方向的分量, 只需用那個方向的基底矢量進行點積. 例如, 矢量的軸分量為

$A_z=mathbf{A}cdothat{mathbf{k}}.$

在推導兩個矢量對於其分量的叉積結果的一般規則方面, 基底矢量非常有用:

$mathbf{A imes B} = (A_x{hat{ mathbf i}}+A_y{hat{mathbf j}}+A_z{hat{mathbf k}}) imes (B_x{hat{mathbf i}}+B_y{hat{mathbf j}}+B_z{hat{mathbf k}}),$

考慮第一項:

$A_xmathbf{hat{i}} imesmathbf B=A_xB_x(hat{mathbf{i}} imeshat{mathbf{i}})+A_xB_y(hat{mathbf{i}} imeshat{mathbf{j}})+A_xB_z(hat{mathbf{i}} imeshat{mathbf{k}}).$

由於且 ,得到

$A_xhat{mathbf{i}} imesmathbf{B}=A_x(B_yhat{mathbf{k}}-B_zhat{mathbf{j}}).$

類似地, 對剩下的兩個分量進行運算, 得到

$egin{align*} A_yhat{mathbf{i}} imesmathbf{B}&=A_y(B_zhat{mathbf{i}}-B_xhat{mathbf{k}})\ A_zhat{mathbf{i}} imesmathbf{B}&=A_z(B_xhat{mathbf{j}}-B_yhat{mathbf{i}}). end{align*}$

我們通常用三階行列式來進行記憶它

$egin{align*} mathbf{A} imesmathbf{B}&= egin{vmatrix} hat{mathbf{i}} & hat{mathbf{j}} & hat{mathbf{k}}\ A_x & A_y & A_z\ B_x & B_y & B_z end{vmatrix}\ &=(A_yB_z-A_zB_y)hat{mathbf{i}}-(A_xB_z-A_zB_x)hat{mathbf{j}}+(A_xB_y-A_yB_x)hat{mathbf{k}}. end{align*}$