概率論-如何理解常見的幾種隨機變數20180317

在概率論一般通識課程中，會碰到幾種常見的隨機變數，有些含義簡單，有些定義晦澀，但你也許並不清楚它們描繪了一個什麼場景，以及它們之間的隱含聯繫。

所以這次主要介紹幾種基礎的隨機變數：伯努利隨機變數，二項隨機變數，幾何隨機變數，泊松隨機變數，指數隨機變數，並將它們形成的場景用一個簡單例子串聯起來。涉及到一些證明會在文中嚴格給出，但並不艱澀難懂。

1、最簡單的隨機變數——伯努利隨機變數

伯努利隨機變數是常見且基礎的離散型隨機變數，很多人認識它是通過硬幣拋擲實驗而熟悉的，為了串聯整篇文章，今天這裡並不打算用這個例子，而是用一個到達的例子來描述：

假設有這麼一個服務中心，我們知道在第個單位時間中，有一個客戶到達的概率是，由於這個單位時間足夠小，因此有兩個及以上客戶到達的概率可以忽略不計，所以有0個客戶達到的概率就是，那麼在第個單位時間，到達的客戶數量就是一個伯努利隨機變數。

伯努利隨機變數的分布列如下：

期望和方差如下：

$E[X] = sum_{}^{}{x*p_X(x)} = 1*p+0*(1-p)=p$
$var(X) = E[(X-E(x))^2] = sum_{}^{}{(x-E(X))^2*p_X(x)} = p(1-p)$

2、段時間中有個客戶到達的隨機變數——二項隨機變數

一個例子：

接上個伯努利實驗的例子：當我們觀察了段時間，發現有個客戶到達了服務中心，那麼這個數量就是一個二項分布的隨機變數，所以你可以認為二項隨機是獨立重複多次伯努利試驗中成功的次數。

二項隨機變數的分布列如下：

$p_S(s) = P(S=s) = (^n_s)p^s(1-p)^{n-s}$

那麼如何計算二項隨機變數的期望和方差呢：

直接用期望和方差的公式計算看上去有點複雜，我們這裡利用二項隨機變數與伯努利隨機變數的關係對其進行求解。

二項隨機變數既然可以看成是獨立重複多次伯努利試驗中成功的次數，那麼我們可以認為段時間代表了次伯努利實驗，他們對應的隨機變數分別是，若隨機變數取1代表了有一個客戶到達，取0代表了沒有客戶到達，那麼對應的二項隨機變數就可以表示成：

那麼期望可以求解：

由於之間是獨立的隨機變數，因此：

3、直到有一個客戶到達的時刻 ——幾何隨機變數

一個例子：

接第一個例子，在客戶服務中心，我們進行觀察，直到第一個客戶到達，此時的時刻為，這個時刻，也就是耗費的時間段為一個幾何隨機變數，注意幾何隨機變數在這裡的單位是時間數量，而不像伯努利或者二項隨機變數那樣，是客戶數量。

幾何隨機變數的分布列：

$p_T(t) = p(1-p)^{t-1}$

幾何隨機變數的期望和方差：

直接用公式求解幾何隨機變數的期望和方差也是一件很複雜的事，所以這裡我們利用一個全期望定理進行求解。

假設事件 $A_1=left{ T=1 ight}=left{ 第一段時間就有客戶來 ight}$

$A_2 = left{ T>1<br /> ight} = left{ 代表第一段時間沒有客戶來<br /> ight}$

那麼容易知道，即已經知道成立的條件下，那麼，所以期望也就是1。

如果第一次失敗了，意味著我們浪費了一次機會，我們必須重新開始，因此

那麼由全期望定理可知：

由此可得： $E(T)=frac{1}{p}$

同理：

所以， $E[T^2] = frac{2}{p^2}-frac{1}{p}$

所以： $var(T) = E[T^2]-(E[T])^2 = frac{1-p}{p^2}$

4、一段時間內的客戶到達數S——泊松隨機變數

泊松隨機變數與二項分布有著一定聯繫，換句話說，在一定條件下，二者會互相接近，來看一個簡單的證明：

二項分布： $p_S(S) = frac{n!}{(n-s)!s!}p^s(1-p)^{n-s}$

設，則，代入上式：

$p_S(s) = frac{n(n-1)...(n-s+1)}{s!}*frac{lambda^s}{n^s}*(1-frac{lambda}{n})^{n-s}$
$=frac{n}{n}*frac{n-1}{n}....frac{n-s+1}{n}*frac{lambda^s}{s!}*(1-frac{lambda}{n})^{n-s}$

固定，令，上式中前面部分每一項都會趨於1，另：

$(1-frac{lambda}{n})->e^{-lambda}$

所以對於固定的，當時，我們有：

$p_S(s) ->e^{-lambda}frac{lambda^s}{s!}$

上面只是單純的從公式上由二項分布對泊松分布進行了逼近，但其實並不直觀，現在仍然來看一個例子：

先考慮一個固定長度為的時間區間，將它分成個小區間，所以每個小區間的長度為，是一個非常小的區間，因此在這個小區間內有兩個或多個客戶到達的概率是非常小的，可以忽略不計，另外我們假設不同區間段的達到事件是相互獨立的。更進一步的，在每個小區間內有一個客戶到達的概率大致是（由前面可知，所以代表了單位時間客戶的到達數，如每小時5人到達，而是一個時間單位，並且這段時間僅能容納一個人到達，所以就代表了這段時間客戶到來的概率），因此沒有到達的概率是。我們可以將這些小區間看成一個個獨立的伯努利事件，並且越小，這個近似就會越精確，因為只能容納一個人的到來。
我們定義接上面的例子：在時間到達個人的概率近似的等於以每次實驗成功概率為，進行次獨立的伯努利試驗，而成功次的（二項）概率，保持不變，令趨向於0，那麼相應的時間段數就會趨向於無窮大，而乘積是保持不變的，在上面的證明中，我們已經證明了在這種情況下二項分布趨近的概率： $P(s, au) = e^{-lambda au}frac{(lambda au)^s}{s!}$