實數域的等價完備公理

實數域的構造有各種各樣的方法. 傳統數學分析教材喜歡用公理化定理：實數域是具有Dedekind完備性的序域. 具體來說實數域是滿足如下性質的集合：

P1 (加法交換律)
P2 (加法結合律)
P3 (加法單位元)
P4 (加法逆元)
P5 (乘法交換律)
P6 (乘法結合律)
P7 (乘法單位元)
P8 (乘法逆元)
P9 (乘法結合律)
P10 (序的自反性)
P11 (序的反對稱性)
P12 (序的傳遞性)
P13 (序的完全性)
P14 (加法保持序)
P15 (乘法保持序)
P16 (Dedekind完備性/確界存在原理) 上有界非空子集都有上確界

可以證明所有Dedekind完備序域都同構，也即實數域在同構意義上是唯一的，dhchen在他的live講義中給出了一個方法.

然而這樣的集合是否存在？一種構造性的方法是從有理數域構築實數域，即所謂Dedekind分割，這種方法用來證明確界存在原理是非常直接的。具體方法不詳述了.

本文的目的是從確界存在原理推出其他與實數完備性有關的定理，並且證明它們的等價性。具體來說是：

設 是序域（即滿足以上性質P1~P15），則以下命題等價：

(Dedekind完備性)上有界非空子集都有上確界;
(Cantor閉區間套)設上的閉區間序列滿足，則 $igcap_{n=1}^{infty}I_n e emptyset$ . 特別地，若 $lim_{n ightarrowinfty} (b_n-a_n)=0$ ，則 $igcap_{n=1}^{infty}I_n$ 有且只有一個點.
(Heine-Borel有限覆蓋) 上的有界閉集是緊緻集.
(Bolzano-Weierstrass聚點存在) 上的有界無限集有聚點.
(Bolzano-Weierstrass收斂子列) 上的有界閉集是列緊集.
(Cauchy完備性) 所有Cauchy序列都收斂+ (Archimedes性) 無上界

名詞解釋
有界，收斂，上確界：這還用解釋嗎哼~聚點： 是的聚點，若閉集：是閉集，若的所有聚點都在中緊緻集：是緊緻集，若對於任意的開集族 ${U_isubsetmathbb{R}|iin I}$ 滿足 $Esubset igcup_{iin I} U_i$ （稱為開覆蓋），都存在有限子集使得 $Esubset igcup_{jin J} U_j$ （稱為有限子覆蓋）.列緊集：是列緊集，若對於任意序列 ${a_n}subset E$ ，都存在收斂子序列 $a_{n_i} ightarrow pin E$ .在任意度量空間中，緊緻性與列緊性是完全等價的，這個性質不限於 $mathbb{R^n}$ .Cauchy序列： ${a_n}$ 是Cauchy序列，若 $forall varepsilon>0 exists Ninmathbb{N} forall m,n>N(|a_m-a_n|<varepsilon)$

我們注意到上面出現了兩種完備性的表述：Dedekind完備性與Cauchy完備性. 這兩個表述不是等價的，Cauchy完備性弱於Dedekind完備性. 存在滿足Cauchy完備性但不滿足Archimedes性(從而不滿足Dedekind完備性)的序域，構造詳見這個回答：

Least upper bound property iff convergence of Cauchy sequences?

math.stackexchange.com

我們的證明思路是循環證明 .

確界存在閉區間套

考慮序列 ${a_n}$ ：是 ${a_n}$ 的一個上界. 假設不然，則存在，於是，與閉區間套假設矛盾.

${a_n}$ 有上界，由確界存在原理，它有上確界，設 $a=sup_{ninmathbb{N_+}}a_n$ ；

同理 ${b_n}$ 有下確界，設 $b=inf_{ninmathbb{N_+}}b_n$ .

假設，則 $exists p,qinmathbb{N}(a_p>bwedge b_q ，即 <img src=$ ，從而，與閉區間套假設矛盾.

於是，而 $forall ninmathbb{N_+}(I_nsupset[a,b])$ ，於是 $igcap_{n=1}^{infty}I_nsupset[a,b] e emptyset$ .

若 $lim_{n ightarrowinfty} (b_n-a_n)=0$ ，則 . 若不然，假設，則 $forall ninmathbb{N_+}(b_n-a_n>b-a=varepsilon)$ 與極限矛盾.

於是 $igcap_{n=1}^{infty}I_n$ 是單點集.

閉區間套有限覆蓋

首先緊緻集的閉子集也是緊緻集，這是在任意度量空間中都具有的性質，證明從略. 而對於任意有界閉集，總能找到一個閉區間包含該集合，要證明有界閉集是緊緻集，只要證明任意閉區間都是緊緻集即可.

其次，緊緻集的有限並是緊緻集. 考慮緊緻，存在一個開覆蓋 $igcup_{iin I}U_isupset (E_1cup E_2)$ ，which is also 和的開覆蓋. 由緊緻性，則分別存在有限子覆蓋 $igcup_{iin J_1}U_isupset E_1,igcup_{iin J_2}U_isupset E_2$ ，於是 $igcup_{iin J_1cup J_2}U_isupset (E_1cup E_2)$ 是一個有限子覆蓋，於是是緊緻集. 可以歸納得，緊緻集的有限並是緊緻集.

現在考慮閉區間，假設它不是緊緻的. 而 $[a_0,b_0]=[a_0,frac{a_0+b_0}{2}]cup[frac{a_0+b_0}{2},b_0]$ ，則 $[a_0,frac{a_0+b_0}{2}]$ 或 $[frac{a_0+b_0}{2},b_0]$ 不是緊緻的（如果她們同時緊緻，就與「緊緻集的有限並是緊緻集」矛盾）. 記其中一個非緊緻集為 .

重複這個二分過程，就得到一個閉區間套且其中每個區間都是不緊緻的.且注意到 $b_n-a_n=frac{b_0-a_0}{2^n} ightarrow 0$ 由閉區間套原理，存在唯一的 $xinigcup_{n=0}^infty I_n$ .

考慮的一個開覆蓋 ${U_i|iin I}$ ，存在 $(c,d)in{U_i|iin I}$ 使得 . 而 $lim_{n ightarrowinfty}(b_n-a_n)=0$ 蘊含 $exists kinmathbb{N}(I_k=[a_k,b_k]subset(c,d))$ ，也即有有限子覆蓋，是緊緻的，這與閉區間套中每個區間都不緊緻的假設矛盾.

綜上，所有閉區間都是緊緻集，而有界閉集能被閉區間包含，因而都是緊緻集.

有限覆蓋聚點存在

對於有界無限集，假設它沒有聚點.

存在閉區間，由於沒有聚點，因此對任意，存在使得 $(p-varepsilon_p,p+varepsilon_p)cap E={p}$ . 我們發現 ${(p-varepsilon_p,p+varepsilon_p)|pin I}$ 是的一個開覆蓋，然而它的任意有限子集都不能覆蓋，因為是無限集而 ${(p-varepsilon_p,p+varepsilon_p)cap E|pin I}$ 的元素是單點集. 因此存在的開覆蓋沒有有限子覆蓋，這與有限覆蓋原理矛盾.

於是有界無限集都有聚點.

聚點存在收斂子列

這個推論就非常直接了，因為實數序列（的值域）是至多可數集. 分情況討論：

設 ${a_n}inmathbb{R}$ 是一個序列，

(1)若值域 ${a_n}$ 是有限集，則必定存在和使得 . 於是子列 $b_n=a_{n+N}=p$ 是常數列，收斂.

(2)若值域 ${a_n}$ 是可數集，由聚點存在原理，存在聚點 . 由聚點定義 $forall kin mathbb{N_+} exists n_iinmathbb{N}(0<|a_{n_i}-p|<frac1k)$ ，於是子列 ${a_{n_i}}$ 收斂到 .

收斂子列 Cauchy完備+Archimedean

Part 1: Cauchy序列收斂

首先，Cauchy序列有界. 設 ${a_n}$ 是Cauchy序列，取，存在 $Ninmathbb{N_+}$ ，取 $minmathbb{N_+}$ ，有 . 於是

取 $M=max{|a_1|,...,|a_n|,varepsilon+|a_m|}$ ，於是是 ${a_n}$ 有界.

由於Cauchy序列有界，由Bolzano-Weierstrass定理，它存在收斂子列 $a_{n_i} ightarrow alpha$ .

取，Cauchy序列蘊含 $exists N_1inmathbb{N} forall m,n>N_1(|a_m-a_n|<varepsilon)$ ，自然有 $exists N_1inmathbb{N} forall i,n>N_1(|a_{n_i}-a_n|<varepsilon)$ ；收斂子列蘊含 $exists N_2inmathbb{N} forall i>N_2(|a_{n_i}-alpha|<varepsilon)$ .

取 $N=max{N_1,N_2}$ . 於是 $forall n,i>N(|a_n-alpha|leq|a_n-a_{n_i}|+|a_{n_i}-alpha|<varepsilon+varepsilon=2varepsilon)$ ，於是 $lim_{n ightarrowinfty}a_n=alpha$ . Cauchy序列收斂.

Part 2: Archimedean

首先，收斂數列是Cauchy列. 因為對， $forall varepsilon>0 exists Ninmathbb{N} forall m,n>N(|a_m-a_n|leq|a_n-alpha|+|a_m-alpha|<2varepsilon)$ .

假設Archimede性不成立，即有上界，那麼序列有界. 由Bolzano-Weierstrass定理，它有收斂子列 $a_{n_i}=n_i$ .

然而，於是 $a_{n_i}=n_i$ 不是Cauchy序列，這與它是收斂序列矛盾.

Cauchy完備+Archimedean 確界存在

設有上界，我們需要構造Cauchy序列來「逼近」它的上確界：

設的全體上界的集合為，取 $x_0in E, y_0inmathscr{U}(E)$ s. t. .

給定 $x_nin E, y_ninmathscr{U}(E)$ . 若 $frac12(x_n+y_n)inmathscr{U}(E)$ ，則令 $x_{n+1}=x_n, y_{n+1}=frac12(x_0+y_0)$ ；若 $frac12(x_n+y_n) otinmathscr{U}(E)$ ，則 $exists pin E(p>frac12(x_0+y_0))$ ，令 $x_{n+1}=p, y_{n+1}=y_n$ .

於是我們歸納地構造了遞增序列 ${x_n}in E$ 和遞減序列 ${y_n}inmathscr{U}(E)$ ，且滿足 $y_{n+1}-x_{n+1} leqfrac12(y_n-x_n)$ . 於是 $0leqlim_{n ightarrowinfty}(y_n-x_n)leqlim_{n ightarrowinfty}frac1{2^n}(y_0-x_0)=0$ . 序列 ${y_n-x_n}$ 收斂.

注意 $lim_{n ightarrowinfty}frac1{2^n}(y_0-x_0)=0$ 用到了Archimedes性：
對，由Archimedes性，存在整數 $N>log_2 frac{y_0-x_0}{varepsilon}$ ，於是 $frac{y_0-x_0}{2^N}<varepsilon$ ， $forall n>N(frac{y_0-x_0}{2^n}<frac{y_0-x_0}{2^N}<varepsilon)$ ，於是 $frac{y_0-x_0}{2^n} ightarrow 0$ .

由於 $forall m,ninmathbb{N}(x_mleq y_n)$ ，我們有 $forallvarepsilon>0 exists Ninmathbb{N} forall m>n>N(x_m-x_n<y_n-x_n<varepsilon)$ ，即 ${x_n}$ 是Cauchy序列. 同理 ${y_n}$ 也是Cauchy序列.

由於Cauchy序列收斂，我們設 $lim_{n ightarrowinfty}x_n=L$ ，於是 $lim_{n ightarrowinfty}y_n=lim_{n ightarrowinfty}(y_n-x_n)+lim_{n ightarrowinfty}x_n=0+L=L$ . 我們要證明：

假設，則 . 令，於是 $exists kinmathbb{N}(|y_k-L|=y_k-L<varepsilon)$ ，即，與 $y_kinmathscr{U}(E)$ 矛盾.

假設不是的最小元素，即 . 令，於是 $exists sinmathbb{N}(|x_s-L|=L-x_s<varepsilon)$ ，即，與矛盾.

綜上，對每個上有界子集，都存在 .

Reference:

Rudin, Principle of Mathematical Analysis
Zorich, Mathematical Analysis I數學分析第一步：搞懂實數http://math.uga.edu/~pete/3100supp.pdfWhich of the Completeness Properties of $mathbb{R}$ imply the Archimedean Property of $mathbb{R}$?Least upper bound property iff convergence of Cauchy sequences