內點是否一定是極限點
在點集拓撲學中，有內點和極限點的定義，那麼內點是否一定是極限點？
本文將搞懂這一點。
什麼是內點
Wikipedia的定義：
Let S be a subset of a topological space X. Then x is an interior point of S if x is contained in an open subset of X which is completely contained in S. (Equivalently, x is an interior point of S if S is a neighbourhood of x.)
什麼是極限點
Wikipedia的定義：
Let S be a subset of a topological space X. A point x in X is a limit point (or cluster point or accumulation point) of S if every neighbourhood of x contains at least one point of S different from x itself.
內點是否一定是極限點
從上面兩個定義，第一感認為內點一定是極限點，我剛開始也是這麼認為的，原因是思維侷限在了直觀的歐氏空間中，而沒有考慮 general topological space中的情況。
首先在 中，內點一定是極限點。考慮
的子集E，如果 x 是 E的內點，意味著有以 x 為中心的open ball
，那麼這個 open ball 中必有 E 中 different from x 的點，那麼 x 也是 E 的極限點。
但是對於general topological space來說，內點就不一定是極限點了。
考慮一個集合 X={1,2,3}，它上面的離散拓撲空間：
{1} 是包含 1 的一個開集， ，所以 1 是集合 {1,2} 的內點。
由於存在點 1 的一個鄰域 {1}，其中不含 {1,2} 中 different from 1 的點2，所以 1 是 {1,2} 的孤立點，不是極限點。
所以在general topological space中，內點就不一定是極限點了。
參考
Wikipedia: Limit point
Wikipedia: Interior
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