在前兩篇文章（Mr.括弧：時域分析——有量綱特徵值含義一網打盡、Mr.括弧：時域分析——無量綱特徵值含義一網打盡）中提到了「矩」這個概念。例如期望是一階矩，方差是二階矩等等。要怎麼理解「矩」這個概念呢？

說到「矩」，很容易想到物理學上的「力矩」，而「力矩=力臂×力」。我們從力矩開始說起。

懂力矩 愛地球

  1. 原點矩

首先我們來看一個例子：

這裡有一個船舵，有三個船員都用力轉動船舵，不過著手點力臂分別為 L_{1} 、 L_{2} 和 L_{3} 。那麼平均力矩是多少？

a_{1}=frac{F_{1}L_{1}+F_{2}L_{2}+F_{3}L_{3}}{3} (1)

有個問題，如果有個船員反向推動船舵，要怎樣衡量大家用力的總能量呢？很簡單，將力取平方。比如 F_{2} 對應的力方向相反，則平均能量可以寫成：

a_{2}=frac{(F_{1}{L_{1}})^2+(-F_{2}{L_{2}})^2+(F_{3}{L_{3}})^2}{3} (2)

（1）式即一階原點矩，（2）式即二階原點矩。所謂一階二階，指代的是力矩的階數。前者衡量的是力矩的平均水平，後者衡量的是能量。所謂「原點」，是因為力矩的計算是指向船舵原點的，但既然有指向原點的「原點矩」，就有指向其他位置的矩，這種矩叫「中心矩」。

2.中心矩

這個「中心」，指的是哪裡呢？是平均值。為了便於理解，我們將上述例子中的力取相等的F。且取 L_{1}=5l 、 L_{2}=6l 、 L_{3}=4l 。

那麼「中心」指的就是 frac{4Fl+5Fl+6Fl}{3}=5Fl ，畫出來就是這樣：

也就是圖中的紅圈，其代表的力矩是5Fl，這是中心矩計算里的「中心」，也就是力矩的平均值。

（1）那麼一階中心矩是：

m_{1}=frac{(FL_{1}-ar{FL})+(FL_{2}-ar{FL})+(FL_{3}-ar{FL})}{3}=0

是的，一階中心矩一定等於零，所以你聽到的中心矩一定是從二階開始的。

（2）那麼二階中心矩是：

m_{2}=frac{(F_{1}L_{1}-ar{FL})^2+(F_{2}L_{2}-ar{FL})^2+(F_{3}L_{3}-ar{FL})^2}{3}

有沒有覺得眼熟？是的，二階中心矩就是方差。它衡量的是例子中，三個力矩的離散程度，這個可以直觀地理解到。

（3）同理，三階中心矩就是：

m_{3}=frac{(F_{1}L_{1}-ar{FL})^3+(F_{2}L_{2}-ar{FL})^3+(F_{3}L_{3}-ar{FL})^3}{3}

三階中心矩也叫偏度，是的，跟我們之前文章里提到的「偏度因子」是有關的。要記住帶「因子/係數」的都是無量綱的，怎樣消除的量綱呢，也很簡單，對於三階中心矩，除以標準差的三次方，即可消除量綱。即：

K_{3}=frac{m_{3}}{sigma^{3}}

這裡再一次印證了標準差的妙用，因為它的量綱與原物理量一致，常常用冪指數的方式消除量綱，上一篇文章中的相關係數也是用標準差消除量綱的。

（4）依舊同理，四階中心矩就是：

m_{4}=frac{(F_{1}L_{1}-ar{FL})^4+(F_{2}L_{2}-ar{FL})^4+(F_{3}L_{3}-ar{FL})^4}{3}

四階中心矩也叫峭度或者峰度。峭度因子是消除量綱後的峭度，方法是除以標準差的四次方。即：

K_{4}=frac{m_{4}}{sigma^{4}}

綜合上述「原點矩」和「中心矩」的描述，其一般表達式分別為：

原點矩： a_{k}=frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}{X_{i}^{k}}

中心矩： m_{k}=frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}{(X_{i}-ar{X_{n}})}^{k}

好了，關於概率論中的「矩」的概念基本都介紹完了，下次在看到「幾階某某矩」不明白的時候可以找出這篇文章看一下，相信對你的理解能有所幫助。

總結

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參考：

blog.csdn.net/huguozhie


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