費馬點是指三角形ABC內部一點P，使得∠PAB=∠PAC=∠PBC=120°。

其性質之一是：P為平面內任意一點，當f=PA+PB+PC取得最小值時，P點為三角形ABC的費馬點。

欲證明此性質，幾何法、代數法皆不易。

目前筆者根據偏導數的極值定理，可以證明此性質。所謂偏導數的極值定理，是：多元函數取得極值時，多元函數對各個變數求導數皆等於0。欲進一步證明它是極小值、極大值，須求其二階導數，此處略。

在三角形中，有：dBC/dAB=(AB-AC*cosA)/BC=cos∠ABC

詳見筆者另一篇文章hugohealth：三角形餘弦定理的導數形式

f=PA+PB+PC，設f=f（PA，PB，PC）

當PA、PB取定時，PC亦取定。即f是一個二元函數。顯然f有下界，無上界。

當f取得極值時，以上三式皆為0。其實只需要兩式為0.由輪換對稱可得三式為0.

由三式為0，解三元一次方程可得cos∠APB=cos∠APC=cos∠BPC=-0.5

故當f取得極值時，∠PAB=∠PAC=∠PBC=120°

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