韋達定理在學習一元二次方程 ax^2+bx+c=0 時就接觸過:

圖：二次韋達定理

這裡我們要講的是高次韋達定理，也就是高次方程P(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+cdots+a_{1} x+a_{0}=0 根與各係數 a_i 之間的關係。

註： a_i 都為實數，且 a_n e 0 .

根據代數基本定理， P(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+cdots+a_{1} x+a_{0}=0 是一元n次方程，在複數域下必定含有n個根： x_{1},x_{2},x_{3},cdots,x_{n} .

根據Factor Theorem， P(x)=a_{n}left(x-x_{1} ight)left(x-x_{2} ight) cdotsleft(x-x_{n} ight) ,所以有

a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+cdots+a_{1} x+a_{0}=a_{n}left(x-x_{1} ight)left(x-x_{2} ight) cdotsleft(x-x_{n} ight)

而上述等式右邊展開後等於下式

a_{n} x^{n}-a_{n}left(x_{1}+x_{2}+cdots+x_{n} ight) x^{n-1}+a_{n}left(x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+cdots+x_{n-1} x_{n} ight) x^{n-2}+cdots+(-1)^{n} a_{n} x_{1} x_{2} cdots x_{n}

註：上述展開可以藉助排列組合來理解，類比二項式定理.

於是對比 x^i 前各係數有：

egin{array}{c}{a_{n}=a_{n}} \ {a_{n-1}=-a_{n}left(x_{1}+x_{2}+cdots+x_{n} ight)} \ {a_{n-2}=a_{n}left(x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+cdots+x_{n-1} x_{n} ight)} \ {vdots} \ {a_{0}=(-1)^{n} a_{n} x_{1} x_{2} cdots x_{n}}end{array}

於是就有了高次韋達定理

圖：高次韋達定理

特別的，當n=2時就是我們常見的一元二次方程的韋達定理。

在競賽中，n=3用到比較多，因為藉助整體代換會有漂亮的表達式：

圖：三次韋達定理

高次韋達定理是多項式理論中非常重要的內容，我們能從它推得很多好的結論和重要的定理。

（1）複數根都是成對出現的；

根據高次韋達定理，所有根的和、乘積等都是實數( a_iin R )，如果有複數根一定是與其共軛一起成對出現的， 即a+bi 與 a-bi 一起出現。

1. 那麼告訴我們一個複數根，其實是告訴了我們方程的兩個根；2. 如果多項式的度(Degree of the Polynomials，多項式最高次)是奇數，那麼一定存在實數根，因為複數根成對出現；

下面我們來看一下這道競賽題：

設方程的前兩根為m，n。由題可知m*n為13+i，說明m與n不是共軛的。那麼根據複數根是成對出現的，後兩根一定是m，n的共軛複數，不妨設為m, n。

根據題意： m cdot n=13+i, m^{prime}+n^{prime}=3+4 i Longrightarrow m^{prime} cdot n^{prime}=13-i, m+n=3-4 i 接著根據高次韋達定理可知： b=m m^{prime}+n n^{prime}+m n^{prime}+n m^{prime}+m n+m^{prime} n^{prime} ，於是， b=(m+n)left(m^{prime}+n^{prime} ight)+m n+m^{prime} n^{prime}=oxed{51} 。

（2）試根法

圖：試根法

因為 x_{1} x_{2} x_{3} cdots x_{n}=(-1)^{n} frac{a_{0}}{a_{n}} ，那麼如果存在一個根 frac{p}{q} ,那麼 p 是 a_0 的因子， q 是 a_n 的因子。

試根法是解高次方程根的常用方程，詳細可參閱：

雙木止月Tong：【國際數學競賽】高次方程求根?

zhuanlan.zhihu.com圖標

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雙木止月Tong：國際數學競賽及課程?

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