如何證明方程3X^2＋3Y^2-2XY-6X＋2Y=-2描述的是橢圓？

這個題目，我們之前說過拋物線，這次來了個橢圓，換湯不換藥，我們可以假設出二次曲線的標準方程，然後通過旋轉，得到題主上面的這個有正交項的二次曲線。我們通過求解標準方程，從而就可以判定這個含有正交項的二次曲線是通過標準方程旋轉加平移得到的。那麼，知道了標準方程，也就知道了這個二次曲線的形狀。

這次我不考慮高中生的感受了，我要用線性代數中的二次型來做這個題目，用迫擊炮打一次蚊子，表演給大家看看。

第一步，我們平移坐標，這個比較簡單，目的是要消去含有的項，這裡我們用待定係數法，把上面的這個方程轉化為如下的形式。

接下去的計算大家自己動手一下，可以求得：

所以原二次曲線方程化簡為：

我們令 ,就可以完成平移了，原二次曲線方程平移後變成如下形式：

當然了，到這裡還沒有結束，我們要求出標準的二次曲線，通過標準的二次曲線旋轉，來得到上面的這個方程。這個是一個很典型的二次型，二次型矩陣可以寫成如下形式：

我這裡補充一下，如果熟悉二次曲線理論的話，這邊事實上直接計算A矩陣的對應的行列式|A|=8&>0，就能判定橢圓。

要做正交旋轉，也就是說旋轉過程中沒有仿射變換，或者說，旋轉過程，保持坐標軸正交。那麼也就是求解一個矩陣使得 ,這個矩陣滿足 ,顯然，這是一個正交矩陣。這裡我們就是用求矩陣特徵值的辦法，來解出這個對角陣，而事實上，解出這個對角陣以後，標準型就出來了。那現在我們就來求解這個對角陣，用求特徵值的方法。

也就是

這個一元二次方程非常簡單，求出的特徵值是：

到這裡，標準方程就出來了，也就是：

即

這個很明顯的，是一個橢圓。

到這裡，我們可以說完成題主的回答。但是我們似乎還不知道的關係。

這個就是要求正交矩陣 ,那下面我們開始。

當時，即

容易求得：

同理，可以求出當時，

我們把這兩個向量單位化一下，合併到一起，就得到了矩陣為：

這個已經很明顯，這個就是正交矩陣，我們可以對比一下我們的旋轉正交陣：

比較一下，我們發現這個旋轉角是 ,也就是說，題主給出的這個橢圓曲線，順時針旋轉45°以後會得到標準方程。

動圖來了

旋轉拋物線後，這次輪到橢圓了呢！

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放個彩蛋，這個視頻的背景音是蒸包子的聲音，因為夜深了，餓了，又冷，可謂饑寒交迫!

有什麼問題可以問我，有什麼錯誤也請指出。

考察到兩定點、距離和為的點的集合．

移項，平方，兩邊消去相同項．（這步是等價的，因為不可能是到兩點距離之差）

同時除以，平方，整理即得．（這也是等價的，原因還是不可能是到兩點距離之差）

因此描述了上集合，是橢圓．證畢．

在證明一個顯然的結論時不用定義就是耍流氓！

不然直接，不完了。

令：

則有：，因此是橢圓。

不能傳圖啊，可以用以下代碼自己畫一下。

x = 1 - sqrt(6) / 4 : 0.01 : 1 + sqrt(6) / 4; x(size(x, 2) + 1) = 1 + sqrt(6) / 4; y1 = (x - 1 - sqrt(-8 * x.^2 + 16 * x - 5)) / 3; y2 = (x - 1 + sqrt(-8 * x.^2 + 16 * x - 5)) / 3; plot(x, y1); hold on; plot(x, y2); hold on;

grid on;

這題目應該屬於數學系大一的內容，很簡單，我覺得用mathematica軟體吊打這類問題。

先上代碼：

(*清除所有變數*) Clear["Global`*"]; (*定義出曲線*) f=3*x^2+3*y^2-2*x*y-6*x+2*y+2 (*繪製出曲線圖像*) ContourPlot[f==0,{x,0,2},{y,-1,1}] (*先平移到(m,n)這點，然後旋轉坐標軸45度*) g=f/.Thread[{x,y}-&>RotationMatrix[45Degree].{a,b}+{m,n}]//Simplify (*讓a b的係數等於零，求解出m n的值*) ans=Solve[Coefficient[g,{a,b},1]==0,{m,n}] (*把m m帶入到g中化簡*) g/.ans

繪製的曲線圖像，根據這個圖形很容易看出是橢圓

帶入結果

求解出來的mn的值

最後平移化簡後的橢圓表達式

標準的橢圓方程！

所以是個橢圓

如果是先求解出中心，再旋轉如下：

(*清除所有變數*) Clear["Global`*"]; (*定義出曲線*) f=3*x^2+3*y^2-2*x*y-6*x+2*y+2 (*繪製出曲線圖像*) ContourPlot[f==0,{x,0,2},{y,-1,1}] (*求偏導，列方程組，求解出中心*) aa=Flatten@Solve[D[f,{{x,y}}]==0,{x,y}] (*先平移到中心，然後旋轉坐標軸45度*) g=f/.Thread[{x,y}-&>RotationMatrix[45Degree].{a,b}+({x,y}/.aa)]//Simplify