鑒於Einstein的EPR佯謬這樣有名，對後世量子糾纏信息的研究有如此開創性的作用，但現在的我們又對Einstein原始的論證邏輯很不熟悉，所以在此做下原始文獻的讀書筆記，可供有歷史興趣但沒有時間的同學們玩賞。文獻地址：Phys. Rev. 47, 777 (1935)

第一部分中，Einstein為其論證做出了種種區分和概念準備。

首先Einstein做出了客觀現實與用來理解現實的理論（概念）的二分。然後，他提出了對理論的兩點要求：

1）
正確（correct），即理論的結論與現實經驗（及科學實驗）的吻合程度

2）
完備（complete），即每個物理現實的要素（element of physical reality）都有理論中的對應物。

接下來，在建構物理現實的要素這一概念時，作者並未進行嚴格定義，而是指出了這些要素不能用思辨先驗的得出，而與實驗相關。並且特別的提出了要求：「在沒有外界擾動的情況下，如果我們能以完全的確定性（1的概率）預測一個一個物理量的值，那麼這個物理量對應一個物理現實的要素」。並且Einstein將這一要求認為是物理現實充分但不一定必要的要求。直觀上看，這句話就與我們所理解的量子力學，特別是海森堡不確定關係構成了衝突，而這一衝突正是Einstein後面想要闡明並從中導出其結論的關鍵。如果嚴格的看這句話，現在的我們會認為，沒有外界擾動這一條件模糊而且根本不可實現。特別的，預測（predict）是一個理論的工作，但成功預測（can predict）則需要實驗驗證和比對，需要對系統的測量。所以現在看來沒有外界擾動和成功預測所蘊含的測量活動就產生了內在的矛盾。很可能是當年測量這一概念並未在量子力學中提升到今天這麼重要的位置上，因而也沒有被Einstein這樣的大物理學家注意到。

接下來Einstein以自己的方式重述了一下量子理論，特別的，態函數的概念，力學量對應的算符。接著指出，hat{A} psi=apsi

只對於力學量A的本徵態，A是一個物理現實（因為能以1的概率預測），而與此同時一個與A不對易的力學量，在態中就沒有物理現實。比如對於hat{x},hat{p} 算符

psi(x)=exp( (ip_0 x)/hbar)),hat{p}psi =p_0psi

因而在此態中動量p有物理現實，而位置x則沒有。特別的Einstein指出了不能同時有關於兩個不對易物理量知識的原因在於，獲取後一力學量值的測量會改變先前的態，而完全破壞先前獲取的知識。

在此，Einstein如我們所料的利用不確定關係突出了矛盾，並使我們在兩個選項中必擇其一：

1）
不對易的物理量並不同時有物理現實

2）
（如若不對易力學量同時有現實）量子力學用態函數的描述不完備

所以後面Einstein想要做的就是從1）出發導出矛盾，並得出2）。

第二部分是EPR的核心。這一理想實驗的框架是，量子系統I與II在一段時間[0,T]內有相互作用，並且在一段時間之後無相互作用。所以如果知道t<0時的系統狀態Psi，則可以根據薛定諤方程計算這一共同態在後面所有時間的演化Psi(x_1,x_2)。必須承認，此處的有相互作用，無相互作用，以及如何使兩個系統在一定時間之後沒有相互作用，這些概念和問題並未澄清。

接著Einstein特別的考慮了對其中一個系統進行的測量，以及波包塌縮的概念。

對於系統I的力學量A有一組本徵態u_i，可以作為正交基, 系統I的力學量B有一組本徵態v_i. 從而這兩組本徵態均可作為正交基對兩者的共同態做出分解，而系統II的對應態也即疊加函數不必然相同。

Psi(x_1,x_2 )=sum_{i=1}^{infty}{psi_i (x_2 )u_i (x_1 ) }=sum_{i=1}^{infty}{phi_i (x_2 )v_i (x_1 ) }

Einstein承認對I系統進行測量之後得到一個本徵值a_i (b_i), 會同時得到一個系統I的態函數u_i(v_i)與一個系統II的態函數psi_i(phi_i). 從而進行I系統不同力學量的測量之後，II系統的狀態被兩個不同的態函數描述。而Einstein又由兩個系統在T時間之後不再有相互作用的假設，推出對於系統I的測量不會真正改變系統II的狀態。從而導出了一個危險的結論，「可以有兩個不同的態函數對應相同的現實。」 對此，我們現在的理解是I系統的測量的確會改變II系統的狀態，使之有不同的現實（reality）。其實否定的是兩個系統在時間T之後，不再有相互作用這一Einstein的初始設定：兩個系統可能沒有經典的相互作用，但無法確保其間沒有量子的相互作用。而那種相互作用正是被Einstein稱為幽靈相互作用（Spooky Action）的東西。

最後Einstein用一個實際的算例凸顯了矛盾。假設分離之後某時刻兩系統狀態為此

Psi(x_1,x_2 )=int_{-infty}^{infty} exp(ip(x_1-x_2+x_0 )/hbar) dp

將此積分視為在動量表象上的展開, 有

u_p (x_1 )=exp((ipx_1)/hbar),psi(x_2 )=exp((ip(x_0-x_2))/hbar)

再換作位置表象的展開

v_x (x_1 )=delta(x_1-x),phi(x_2 )=int_{-infty}^{infty}exp(ip(x-x_2+x_0 )/hbar) dp=delta(x+x_0-x_2 )

於是我們看到psi(x_2)是p本徵態，按照Einstein的說法此態中有p這一物理量對應的物理現實的要素（element of physical reality）。而phi(x_2)是x本徵態，有x這一物理量對應的物理現實。於是按照前面的邏輯，兩個波函數對應同樣的物理現實，而此現實中x與p均有其物理實在，打破了不對易物理量不可同時有物理現實的假設1）。最終推出量子力學描述的不完備（假設2））。

所以現在看來，Einstein的這一思想實驗質詢的方向有些奇怪，但文章最大的問題一個是最後一部分對兩系統沒有相互作用的描述比較含混，而最後的解決也在此處——說明有某種幽靈相互作用；此外就是Einstein對完備性以及物理現實的要求，體現出來他對量子力學的理解與我們現在的理解很不一樣。

Reference

Einstein et al., PHYSICAL REVIEW, Vol 47, May. 15 1935, Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete ? ，Phys. Rev. 47, 777 (1935)


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