鉴于Einstein的EPR佯谬这样有名，对后世量子纠缠信息的研究有如此开创性的作用，但现在的我们又对Einstein原始的论证逻辑很不熟悉，所以在此做下原始文献的读书笔记，可供有历史兴趣但没有时间的同学们玩赏。文献地址：Phys. Rev. 47, 777 (1935)

第一部分中，Einstein为其论证做出了种种区分和概念准备。

首先Einstein做出了客观现实与用来理解现实的理论（概念）的二分。然后，他提出了对理论的两点要求：

1）
正确（correct），即理论的结论与现实经验（及科学实验）的吻合程度

2）
完备（complete），即每个物理现实的要素（element of physical reality）都有理论中的对应物。

接下来，在建构物理现实的要素这一概念时，作者并未进行严格定义，而是指出了这些要素不能用思辨先验的得出，而与实验相关。并且特别的提出了要求：「在没有外界扰动的情况下，如果我们能以完全的确定性（1的概率）预测一个一个物理量的值，那么这个物理量对应一个物理现实的要素」。并且Einstein将这一要求认为是物理现实充分但不一定必要的要求。直观上看，这句话就与我们所理解的量子力学，特别是海森堡不确定关系构成了冲突，而这一冲突正是Einstein后面想要阐明并从中导出其结论的关键。如果严格的看这句话，现在的我们会认为，没有外界扰动这一条件模糊而且根本不可实现。特别的，预测（predict）是一个理论的工作，但成功预测（can predict）则需要实验验证和比对，需要对系统的测量。所以现在看来没有外界扰动和成功预测所蕴含的测量活动就产生了内在的矛盾。很可能是当年测量这一概念并未在量子力学中提升到今天这么重要的位置上，因而也没有被Einstein这样的大物理学家注意到。

接下来Einstein以自己的方式重述了一下量子理论，特别的，态函数的概念，力学量对应的算符。接著指出，hat{A} psi=apsi

只对于力学量A的本征态，A是一个物理现实（因为能以1的概率预测），而与此同时一个与A不对易的力学量，在态中就没有物理现实。比如对于hat{x},hat{p} 算符

psi(x)=exp( (ip_0 x)/hbar)),hat{p}psi =p_0psi

因而在此态中动量p有物理现实，而位置x则没有。特别的Einstein指出了不能同时有关于两个不对易物理量知识的原因在于，获取后一力学量值的测量会改变先前的态，而完全破坏先前获取的知识。

在此，Einstein如我们所料的利用不确定关系突出了矛盾，并使我们在两个选项中必择其一：

1）
不对易的物理量并不同时有物理现实

2）
（如若不对易力学量同时有现实）量子力学用态函数的描述不完备

所以后面Einstein想要做的就是从1）出发导出矛盾，并得出2）。

第二部分是EPR的核心。这一理想实验的框架是，量子系统I与II在一段时间[0,T]内有相互作用，并且在一段时间之后无相互作用。所以如果知道t<0时的系统状态Psi，则可以根据薛定谔方程计算这一共同态在后面所有时间的演化Psi(x_1,x_2)。必须承认，此处的有相互作用，无相互作用，以及如何使两个系统在一定时间之后没有相互作用，这些概念和问题并未澄清。

接著Einstein特别的考虑了对其中一个系统进行的测量，以及波包塌缩的概念。

对于系统I的力学量A有一组本征态u_i，可以作为正交基, 系统I的力学量B有一组本征态v_i. 从而这两组本征态均可作为正交基对两者的共同态做出分解，而系统II的对应态也即叠加函数不必然相同。

Psi(x_1,x_2 )=sum_{i=1}^{infty}{psi_i (x_2 )u_i (x_1 ) }=sum_{i=1}^{infty}{phi_i (x_2 )v_i (x_1 ) }

Einstein承认对I系统进行测量之后得到一个本征值a_i (b_i), 会同时得到一个系统I的态函数u_i(v_i)与一个系统II的态函数psi_i(phi_i). 从而进行I系统不同力学量的测量之后，II系统的状态被两个不同的态函数描述。而Einstein又由两个系统在T时间之后不再有相互作用的假设，推出对于系统I的测量不会真正改变系统II的状态。从而导出了一个危险的结论，「可以有两个不同的态函数对应相同的现实。」 对此，我们现在的理解是I系统的测量的确会改变II系统的状态，使之有不同的现实（reality）。其实否定的是两个系统在时间T之后，不再有相互作用这一Einstein的初始设定：两个系统可能没有经典的相互作用，但无法确保其间没有量子的相互作用。而那种相互作用正是被Einstein称为幽灵相互作用（Spooky Action）的东西。

最后Einstein用一个实际的算例凸显了矛盾。假设分离之后某时刻两系统状态为此

Psi(x_1,x_2 )=int_{-infty}^{infty} exp(ip(x_1-x_2+x_0 )/hbar) dp

将此积分视为在动量表象上的展开, 有

u_p (x_1 )=exp((ipx_1)/hbar),psi(x_2 )=exp((ip(x_0-x_2))/hbar)

再换作位置表象的展开

v_x (x_1 )=delta(x_1-x),phi(x_2 )=int_{-infty}^{infty}exp(ip(x-x_2+x_0 )/hbar) dp=delta(x+x_0-x_2 )

于是我们看到psi(x_2)是p本征态，按照Einstein的说法此态中有p这一物理量对应的物理现实的要素（element of physical reality）。而phi(x_2)是x本征态，有x这一物理量对应的物理现实。于是按照前面的逻辑，两个波函数对应同样的物理现实，而此现实中x与p均有其物理实在，打破了不对易物理量不可同时有物理现实的假设1）。最终推出量子力学描述的不完备（假设2））。

所以现在看来，Einstein的这一思想实验质询的方向有些奇怪，但文章最大的问题一个是最后一部分对两系统没有相互作用的描述比较含混，而最后的解决也在此处——说明有某种幽灵相互作用；此外就是Einstein对完备性以及物理现实的要求，体现出来他对量子力学的理解与我们现在的理解很不一样。

Reference

Einstein et al., PHYSICAL REVIEW, Vol 47, May. 15 1935, Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete ? ，Phys. Rev. 47, 777 (1935)


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