MP25：力学与电磁学中的外微分(1)：镜像、极/轴向量、叉乘、nabla运算元/外微分运算元

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过去我们多次讨论了微分形式，为了巩固理解，还学习了张量和一系列的外数学：

外积、外代数、外形式、外微分。。。

Gap5：方向导数、偏导数、梯度、全微分

MP4：对偶、逆变与协变

MP8：局部线性化：从Taylor展开到微分形式

MP9：重新认识向量场：方向导数、偏导数、梯度

MP11：余切空间

MP18：反对称、外积、外代数、微分形式

MP23：张量积、张量、张量丛

MP24：再论外代数、外形式、外微分

现在我们结合电磁学讲讲外微分的物理意义。我们将通过镜像的实例，揭示向量与微分形式之间微妙的物理意义上的区别。然后从外微分的角度讨论Maxwell方程，并介绍Hodge星运算元，了解电和磁之间相似性的根源所在。

镜像：极向量与轴向量

一辆面向我们行驶的汽车，它的水平镜像也是一辆面向我们行驶的汽车。汽车和它的镜像并排，就像一根轴上有四个轮子。汽车的一对轮子具有同样的角速度，角速度的方向指向一边。镜像中的那对轮子也具有指向同一边的角速度。现在我们发现问题了，角速度作为有方向的向量，并没有随著镜像所预期的那样指向另外一边。

车轮和镜像的角速度方向(wiki)

角速度是圆周产生的向量。如果我们把汽车轮子的旋转类比为闭合圆周电流，那么这样的电流会产生磁场。类似汽车的角速度，磁场的方向也不复合镜像的预期。如果我们把线圈从垂直旋转到水平，可以发现磁场的方向和镜像线圈磁场的方向开始偏移，直到变成一个朝上一个朝下。

闭合圆周电流及其镜像的磁场方向(wiki)

区别与我们一般理解的向量，这种不满足镜像规则的向量，称为赝向量(pseudovector)或轴向量(axial vector)。

正常理解的向量，相对于轴向量而言叫做极向量(polar vector)。位移、速度（除以时间标量）、动量（乘以质量标量）这些都满足镜像规律，是极向量。

叉乘：轴向量的构造

所谓轴向量，用叉乘就很容易理解。两个极向量的叉乘产生一个轴向量。我们用力向量和径向量的叉乘可以产生力矩向量：

类似前面车轮角速度的例子，如果有人换轮胎，用扳手松开车轮的螺丝，那么松开螺丝的力矩和镜像的力矩也是不满足镜像的，因此力矩也是轴向量。在中学物理中我们一般采用右手系，通过叉乘得到的力矩、磁感应等物理量，这类通过有序（叉乘的反交换律）运算产生的都是轴向量。

前后两个极向量叉乘，若两个向量平行，则：

即它们是线性相关的，否则，它们作为基可以确定一个平面，而叉乘产生的轴向量就是这个平面的法向量，就像旋转平面的轴，因此而得名。

在第一讲中，我们用简单的三角函数解释了复数乘法的内涵——旋转角度的相加/旋转的合成。请参考 MP1：重温高等数学：复平面与Euler公式；现在故伎重演，我们要研究两个平面向量的角度之差——夹角，它是叉乘的本意。相关的阐述初见于：MP5：内积、外积、面积、Hermit内积、辛内积

考虑三维情况，在两个极向量所张的平面 $W subset mathbb{R}^3$ 上建立坐标系，那么叉乘构造了直和

$mathbb{R}^3 = W oplus W^ot$

归一化的极向量可以用三角函数表达为：

$frac{mathbf {a}}{|a|} = egin{bmatrix} cosalpha \ sinalpha end{bmatrix}$

$frac{mathbf {b}}{|b|} = egin{bmatrix} coseta \ sineta end{bmatrix}$

于是极向量的三角表示与坐标表示有如下关系

$mathbf {a} = |a| egin{bmatrix} cosalpha \ sinalpha end{bmatrix} = egin{bmatrix} a_1 \ a_2 end{bmatrix}$

$mathbf {b} = |b| egin{bmatrix} coseta \ sineta end{bmatrix} = egin{bmatrix} b_1 \ b_2 end{bmatrix}$

由于两个极向量的叉乘的大小为：

加上叉乘对于两个变元的数乘线性律，于是

$| mathbf {a} imes mathbf{b} | = |a||b| Bigg| egin{bmatrix} cosalpha \ sinalpha end{bmatrix} imes egin{bmatrix} coseta \ sineta end{bmatrix} Bigg|$

我们得到两个归一化单位极向量叉乘的关系

$Bigg| egin{bmatrix} cosalpha \ sinalpha end{bmatrix} imes egin{bmatrix} coseta \ sineta end{bmatrix} Bigg| =sin heta = sin(alpha-eta) =sinalphacoseta - cosalphasineta$

于是我们得到坐标表示的叉乘大小：

$| mathbf {a} imes mathbf{b} | = a_2b_1 - a_1b_2$

去掉大小的符号，则

$mathbf {a} imes mathbf{b} = a_2b_1 - a_1b_2 = egin{bmatrix} a_1 & a_2 end{bmatrix} egin{bmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 end{bmatrix} egin{bmatrix} b_1 \ b_2 end{bmatrix}$